3 Принятие оптимального решения в условиях риска

3.1 Вероятностная постановка принятия предпочтительных решений

Риск - категория вероятностная, поэтому в процессе оценки неопределенности и количественного определения риска используют вероятностные расчеты.

Вероятностные задачи характеризуются тем, что эффективность принимаемых решений зависит не только от детерминированных факторов, но и от вероятностей их появления, т.е. известен закон распределения управляемых факторов X в виде:

X	х1	х2	…	хп
P	P1	Р2	…	Рп

где Р_i - вероятность появления управляемого фактора х_i, i = .

Каждой паре (х_i, Р_i) соответствует значение функции эффективности A(х_i, Р_i). В качестве показателей эффективности используются:

- математическое ожидание (М):

; (3.1)

-дисперсия (D):

; (3.2)

- среднее квадратическое отклонение (σ):

; (3.3)

- коэффициент вариации (V):

, (3.4)

где - среднее ожидаемое значение квадрата рассматриваемой величины.

Величина М представляет собой обобщенную количественную характеристику и не позволяет принять решение в пользу какого-либо варианта вложения капитала.

Важной характеристикой, определяющей меру изменчивости возможного результата, является дисперсия. Чем больше дисперсия, тем в среднем больше отклонение, т.е. выше неопределенность и риск. Поэтому за степень рискованности принимают величину среднего квадратического отклонения. Среднее квадратическое отклонение σ является именованной величиной и указывается в тех же единицах, в каких измеряется варьирующий признак. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мерами абсолютной колеблемости.

Дисперсия не дает полной картины линейных уклонений ∆Х = X – М, более наглядных для оценивания рисков. Тем не менее, задание дисперсии позволяет установить связь между линейным и квадратичными отклонениями с помощью неравенства Чебышева.

Вероятность Р того, что случайная величина X отклоняется от своего математического ожидания больше, чем на заданный допуск ε > 0, не превосходит ее дисперсии, деленной на ε², т.е.

. (3.5)

Отсюда видно, что незначительному риску по среднеквадратическому отклонению соответствует малый риск и по линейным отклонениям: точки X с большой вероятностью будут располагаться внутри ε - окрестности ожидаемого значения М.

Оценка рискованности производится посредством среднего квадратического отклонения σ. Риском операции называется число σ - среднее квадратическое отклонение управляемого фактора (например, дохода) X операции, которое обозначим r = σ.

Если под X понимать случайный доход Q, то М_Q представляет собой средний ожидаемый доход, или эффективность, а среднее квадратическое отклонение σ_Q является оценкой рискованности, риском и обозначается r_Q.

Коэффициент вариации V - безразмерная величина, с его помощью можно сравнивать даже колеблемость признаков, выраженных в разных единицах измерения. Коэффициент вариации изменяется от 0 до 100%. Чем больше коэффициент, тем сильнее колеблемость. Установлена следующая качественная оценка различных значений коэффициента вариации: до 10% - слабая колеблемость, 10-25% - умеренная колеблемость, свыше 25% - высокая колеблемость.

С помощью этого метода оценки риска, т.е. на основе расчета дисперсии, стандартного отклонения и коэффициента вариации можно оценить риск не только конкретной сделки, но и предпринимательской фирмы в целом (проанализировав динамику ее доходов) за некоторый промежуток времени.

Преимуществом данного метода оценки риска является несложность математических расчетов, а явным недостатком - необходимость большого числа исходных данных (чем больше массив, тем достовернее оценка риска).

Пример 3.1. Сравнить по риску вложения в акции трех типов А, В, С, если каждая из них по своему откликается на возможные рыночные ситуации, достигая с известными вероятностями определенных значений доходности (таблица 3.1).

Таблица 3.1 – Вероятности доходностей акций А, В, С для различных ситуаций

Тип акции	Ситуация 1		Ситуация 2
	вероятность	доходность	вероятность	доходность
А	0,5	20%	0,5	10%
В	0,99	15,1%	0,01	5,1%
С	0,7	13%	0,3	7%

Решение.

По формулам (3.1 - 3.4) находим для акции А:

М_А = 20 ∙ 0,5 + 10 ∙ 0,5 = 15%,

D_A = (20,0 - 15)² ∙ 0,5 + (10 - 15)² ∙ 0,5 = 25,

σ_А = = 5, V_А = ;

для акции В:

М_В =15,1 ∙ 0,99 + 5,1 ∙ 0,01 = 15%,

D_B = (15,1 - 15)² ∙ 0,99 + (5,1 - 15)² ∙ 0,01 = 0,99,

σ_В = = 0,995, V_B = ;

для акции С:

M_С = 13 ∙ 0,7 + 7 ∙ 0,3 = 11,2%,

D_С = (13 - 11,2)² ∙ 0,7 + (7 - 11,2)² ∙ 0,3 = 7,56,

σ_С = = 2,75, V_С = .

Так как наименьшее значение коэффициента вариации имеем для акции В, то и вложения в эту акцию наиболее предпочтительны, тем более, что и σ_В = r_В = 0,995% наименьшее.

Особый вариант риска – риск разорения. Так называется вероятность столь больших потерь (Х < М), которые ЛПР не может компенсировать и которые, следовательно, ведут к его разорению.

Пример 3.2. Пусть случайный доход операции О имеет следующий ряд распределения:

-60	-40	-30	80
0,1	0,2	0,5	0,2

и потери 30 или более ведут к разорению ЛПР. Следовательно, вероятность возникновения риска разорения в результате данной операции равна 0,1 + 0,2 + 0,5 = 0,8.

Серьезность риска разорения оценивается именно величиной соответствующей вероятности. Если эта вероятность очень мала, то ею часто пренебрегают (вероятность разорения отлична от нуля почти в любой сделке - из-за весьма маловероятных катастрофических событий на финансовых рынках, в масштабах государства, из-за природных явлений и т.п.).

Пример 3.3. Предположим, что на рынке могут возникнуть только два исхода и на каждый из них акции А и В откликаются неслучайным образом. Вероятности этих исходов и соответствующих им значений доходности задаются таблицей 3.2.

Таблица 3.2 - Вероятности доходностей акций А и В для различных исходов

Тип акции	Исход 1		Исход 2
	вероятность	доходность	вероятность	доходность
А	0,3	6%	0,7	2%
В	0,2	-1%	0,8	4,25%

Ожидаемые доходности акций:

М_А = 6 ∙ 0,3 + 2 ∙ 0,7 = 3,2%, М_В = - 1 ∙ 0,2 + 4,25 ∙ 0,8 = 3,2%

совпадают, а дисперсии (квадратичные характеристики рисков) равны:

D_A = (6 - 3,2)² ∙ 0,3 + (2 - 3,2)² ∙ 0,7 = 3,36, σ_А = r_А = 1,83,

D_B = (- 1 - 3,2)² ∙ 0,2 + (4,25 - 3,2)² ∙ 0,8 = 4,41, σ_В = r_В = 2,1.

Предположим теперь, что инвестор взял деньги в долг под процент, равный 2,5%. Ставка процента по кредиту ниже ожидаемой доходности по акциям, которые будут приобретены на заемные деньги, поэтому действия инвестора вполне разумны.

Однако, если инвестор вложил деньги в акции А, то при исходе 1 он выиграет (6 - 2,5) = 3,5%, а при исходе 2 проиграет (2 - 2,5) = - 0,5%, причем с вероятностью Р₂ = 0,7. Напротив, если он вложит деньги в актив В, то разорение ему грозит с вероятностью Р₁ = 0,2 в первой ситуации (исход 1), когда он теряет (- 1 - 2,5) = - 3,5%.

Ожидаемые потери (П) при покупке акций А и В составят соответственно: П_А = 0,5 0,7 = 0,35, П_В = 3,5 ∙ 0,2 = 0,7. Данные потери в первом случае меньше. Однако риски разорения, оцениваемые через вероятность наступления события, наоборот, при приобретении акций А будут больше (0,7 > 0,2). Это превышение возможности банкротства должно отпугивать осторожного вкладчика, который к тому же «играет» на заемном капитале, от акции А в пользу бумаг В.

В свою очередь, ожидаемый риск П_А < П_В склоняет его к выбору в пользу акций А. Каким образом действовать в подобной ситуации инвестору, зависит от его индивидуальных предпочтений, выражаемых в том числе, функцией полезности инвестора.