Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Гимназия №4»

Кафедра физики и математики

Тема:

«Иррациональное и трансцендентное число π»

Выполнил: Шагивалеева Д.Р.

Стерлитамак, 2011

Оглавление

Введение 2

Глава 1 3

Глава 2 4

Глава 3 6

Заключение 7

Список литературы 8

Глава 1 История чисел

Числа много тысячелетий назад вошли в жизнь и быт людей. Человек их использует не только при счёте и вычислениях, он придумал различные игры с числами и шарады. Некоторые числа наделил сверхъестественными свойствами, например, такие как 13 и 666. Среди бесконечного множества действительных чисел существуют ещё особенные, и не только для математиков, числа π  и е. Эти числа имеют свои собственные обозначения, так как их нельзя записать точно с помощью цифр. Числа 3,14 и 2,7 лишь одни из приближённых значений чисел π и е. Эти числа являются иррациональными и трансцендентными, для их точного определения не хватило бы и триллиона десятичных знаков.

Число π

Письменная история числа π  начинается с египетского папируса, но оно было известно еще древним людям. Число π обратило на себя внимание людей ещё в те времена, когда они не умели письменно излагать знаний. С тех пор как первые натуральные числа 1,2,3,4… стали неразлучными спутниками человека, помогая оценивать количества предметов либо их длины, площади или объёмы, люди познакомились с числом π. Тогда оно ещё не обозначалось одной из букв греческого алфавита и его роль играло число 3. Выражая величину отношения между длиной окружности и её диаметром, оно появилось во всех расчётах связанных с площадью круга или длиной окружности. Но уже в глубокой древности математики довольно быстро и не без удивления обнаружили, что число 3 не совсем точно выражает то, что теперь известно как число пи. Безусловно, к такому выводу могли прийти только после того, как к ряду натуральных чисел добавились дробные или рациональные числа. Так египтяне получили результат: 

Но так же разные народы имели разные способы получения числа π: индусы в V-VI веках пользовались числом , китайцы- числом 

При вычислении верных десятичных знаков числа π математики пользовались различными способами, некоторые, как и Архимед вычисляли периметры вписанных и описанных n-угольников, но позднее стали прибегать к помощи рядов. Так Лейбниц вычислял с помощью ряда: ,  Шарп применил ряд:  , Л.Эйлер с помощью ряда:  .

Обозначение числа π  происходит от греческого слова  ("окружность"). Впервые это обозначение использовал в 1706 году английский математик У.Джонс, но общепринятым оно стало после того, как его (начиная с 1736 года) стал систематически употреблять Леонард Эйлер. В конце XVIII века И. Ламберт и А. Лежандр установили, что π  иррациональное число, а в 1882 году Ф. Лидерман доказал, что оно трансцендентное, т.е. не может удовлетворять никакому алгебраическому уравнению с целыми коэффициентами.

Леонардо Фибоначи около 1220 года определил три первых точных десятичных знаков числа π. В 16 веке Андриан Антонис определил 6 таких знаков. Франсуа Виет подобно Архимеду, вычисляя периметры вписанного и описанного 322216-угольников, получил 9 точных десятичных знаков. Андриан Ван Ромен таким же способом получил 15 десятичных знаков, вычисляя периметры 1073741824-угольников. Лудольф Ван Кёлен, вычисляя периметры 32512254720-угольников, получил 20 точных десятичных знаков. Авраам Шарп получил 72 точных десятичных знаков числа π . В 1844 году З.Дазе вычисляет 200 знаков после запятой числа π , в 1847 году Т.Клаузен получает 248 знаков, в1853 Рихтер вычисляет 330 знаков, в том же 1853 году 440 знаков получает З.Дазе и в этом же году У.Шенкс получает 513 знаков.