16.1.5. Аналітична функція. Диференціал

Фундаментальним поняттям у теорії функцій комплексної змінної є поняття аналітичної функції.

Однозначна функція f(z) називається аналітичною (голоморфною) у точці z, якщо вона диференційовна (виконані умови Ейлера-Даламбера) у деякому околі цієї точки. Функція f(z) називається аналітичною в області D, якщо вона диференційовна в кожній точці .

Як видно з цього означення, умова аналитичності в точці не збігається з умовою диференційовності функції в цій же точці (перша умова більш сильніша).

Точки площини z, у яких однозначна функція f(z) аналітична, називаються правильними точками f(z). Точки, у яких функція f(z) не є аналітичною, називаються особливими точками цієї функції.

Нехай функція w=f(z) аналітична в точці z. Тоді . Звідси випливає, що , де при , а приріст функції можна записати так: . Якщо , то перший доданок являється при нескінченно малою того ж порядку, що і ; другий доданок є нескінченно мала вищого порядку, ніж . Отже, перший доданок складає головну частину приросту функції w=f(z).

Диференціалом dw аналітичної функції w=f(z) у точці z називається головна частина її приросту, тобто , або , тобто похідна функції дорівнює відношенню диференціала функції до диференціала незалежної змінної.

Зауваження. Якщо функція аналітична в деякій області D, то функції u(x;y) і v(x;y) задовольняють диференціальному рівнянню Лапласа ().

Дійсно, диференціюючи першу з рівностей Ейлера-Даламбера по y, а другупо x, отримаємо:

, ,

звідси .

Функції u(x;y) і v(x;y) називаються гармонічними функціями.

Приклад 3. Перевірити, чи є функція аналітичною. Знайти її похідну.

○ Знаходимо дійсну і уявну частини функції:

.

Таким чином, , . Перевіряємо умови Ейлера-Даламбера (1.5):

, ;

, .

Умови (1.5) виконуються у всіх точках комплексної площини z. Функція диференційовна, отже, аналітична у всіх точках цієї площини. Її похідну знайдемо за однією з формул (1.6), наприклад за першію:

,

тобто .

Замітимо, що похідну функції можна знайти, скориставшись означенням похідної (1.4):

. ●

Приклад 4. Знайти аналітичну функцію w=u+iv за її заданою дійсною частиною .

○ Відзначимо, що функція u є гармонічною функцією ( , , отже, ).

Для визначення уявної частини v скористаємося умовами Ейлера-Даламбера (1.5). Оскільки , то, згідно першій умові, . Звідси, інтегруючи по y, знаходимо:

.

Для визначення функції скористаємося другою умовою Ейлера-Даламбера. Оскільки

,

,

то . Звідси і , де C = const. Тому . Знаходимо функцію w=u+iv:

●

16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення

Нехай функція w=f(z) аналітична в точці і . З'ясуємо геометричний зміст аргумента і модуля похідної.

Функція w=f(z) відображає точку площини z у точку площини w.

Нехай довільна точка з околу точки переміщується до точки по деякії неперервній кривій l. Тоді в площині w відповідна точка буде переміщуватися до точки по деякій кривій L, що є образом кривої l у площині w (рис. 4).

Рис. 4

За означенням похідної . Звідси випливає, що . Величина являє собою відстань між точками і , а - відстань між точками і . Отже, є границя відношения нескінченно малої відстані між точками і до нескінченно малої відстані між точками і . Ця границя не залежить (f(z) аналітична в точці ) від вибору кривої l, що проходить через точку . Отже, границя в точці постійна, тобто однакова у всіх напрямках.

Звідси випливає геометричний зміст модуля похідної: величина визначає коефіцієнт розтягання (подібності) у точці при відображенні w=f(z). Величину називають коефіцієнтом розтягу, якщо , чи коефіцієнтом стиску, якщо .

Приклад 5. Знайти коефіцієнт розтягу (стиску) для функції в точці .

○ Функція аналітична в точці , при цьому . Отже, . Коефіцієнт розтягу для функції в точці дорівнює 5 (площина розтягується).

Для аргументу похідної в точці маємо:

,

де й а₁ і а₂ – кути, що утворюють дотичні до кривих l і L відповідно в точках z₀ і w₀ з додатніми напрямками дійсних осей на площинах z і w (див. рис. 4).

Звідси . Це означає, що - це кут, на який потрібно повернути дотичну до кривой l у точці z₀ для того, щоб одержати напрямок дотичної до кривой L у точці w₀. Іншими словами, - це кут між відображеним і початковим напрямками дотичних до кривих l і L у точках z₀ і w₀ відповідно. У цьому полягає геометричний зміст аргументу похідної . ●

В наслідок аналітичності функції f(z) у точці z₀ (ми припустили, що) кут той самий для всіх кривих, що проходять через точку z₀. Для іншої пари кривих l₁ і L₁ у тих же точках z₀ і w₀ будемо мати . Таким чином, , тобто якщо криві l і l₁ утворюють у точці z₀ на площині z кут , то такий же кут будуть утворювати в точці w₀ криві L і L₁, що є образами кривих l і l₁ на площині w (див. рис. 5).

Ця властивість відображення w=f(z) називається властивістю збереження (консерватизму) кутів в точці z₀.

Відображення w=f(z), що зберігає кути та коефіцієнт деформації у точці z₀, називається конформним (тобто відображенням, що зберігає форму).

Рис. 5

Якщо при цьому зберігається і напрямок відліку кутів, то таке відображення називається конформним відображенням 1-го роду; якщо напрямок відліку кутів змінюється на протилежний – конформним відображенням 2-го роду.

Таким чином, якщо функція f(z) є аналітичною в деякій точці z₀ комплексної площини z і в цій точці її похідна відмінна від нуля, то відображення w=f(z) конформне в цій точці.

Відображення w=f(z) називається конформним в області D, якщо воно конформне в кожній точці цієї області.

Справедливе наступне твердження: якщо функція w=f(z) аналітична в області D, причому у всіх точках області , то відображення конформне в D; якщо відображення w=f(z) конформне в області D, то функція w=f(z) аналітична в D і в усіх точках цієї області .

Приклад 6. З'ясувати геометричну картину відображення, здійснюваного функцією w=2z.

○ Відображення w=2z конформне в усіх точках площини z, тому що .

Коефіцієнт розтягування в будь-якій точці площини z дорівнює 2. Оскільки , то напрямок при відображенні не міняється. Таким чином, відображення є перетворення гомотетії з центром у нульовій точці (w=0 при z=0) і коефіцієнтом гомотетії, що дорівнює 2. ●