- •§ 16. Елементи теорії функцій комплексної змінної
- •16.1 Функції комплексної змінної.
- •16.1.1. Основні поняття
- •16.1.2 Границя і неперервність функції комплексної змінної
- •16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
- •16.1.3.1. Показникова функція
- •16.1.3.2. Логарифмічна функція
- •16.1.3.5. Тригонометричні функції
- •16.1.3.6. Гіперболічні функції
- •16.1.3.7. Обернені тригонометричні і гіперболічні функції
- •16.1.4. Диференціювання функції комплекснї змінної. Умови Ейлера-Даламбера.
- •16.1.5. Аналітична функція. Диференціал
- •16.1.6. Геометричний зміст модуля і аргумента похідної. Поняття про конформне відображення
- •Приклади конформних відображень, що здійснюються деякими елементарними функціями див. Додаток 1.
- •16.2. Інтегрування функції комплексної змінної
- •16.2.1 Означення, властивості і правила обчислення інтеграла
- •16.2.2. Теорема Коші. Первісна , невизначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •16.2.3. Інтеграл Коші. Інтегральна формула Коші
- •16.3. Ряди в комплексній площині
- •16.3.1. Числові ряди
- •16.3.2. Степеневі ряди
- •Ряд Тейлора
- •Нулі аналітичної функції
- •Ряд Лорана
- •Ряд Лорана для функції
- •○ Скористаємося відомим розкладом
- •16.3.6. Класифікація особливих точок. Зв'язок між нулем і полюсом функції
- •Усувні особливі точки
- •Істотно особлива точка
- •16.4. Лишок функції
- •16.4.1. Поняття лишка і основна теорема про лишки
- •16.4.2. Обчислення лишків. Застосування лишків в обчисленні інтегралів
16.1.3. Основні елементарні функції комплексної змінної
Визначимо основні елементарні функції комплексної змінної .
16.1.3.1. Показникова функція
Показникова функція визначається формулою:
(1.1)
Поклавши в цій рівності . Встановлюємо, що для дійсних значень показникова функція збігається з показниковою функцією дійсної змінної: .
Показникова функція володіє «відомою» властивістю: . Дійсно, за правилом множення комплексних чисел («модулі перемножуються, а аргументи додаються»), отримуємо:
.
Аналогічно можна переконатися в справедливості властивостей: , .
Враховуючи, що , а , стверджуємо, что показникова функція ніде в нуль не обертається, тобто .
Виходячи з означення, легко переконатися, що
, ,
вираз при не має змісту.
Поклавши в рівності (1.1) , , одержимо класичну формулу Ейлера . За її допомогою, зокрема, можна подати тригонометричну форму комплексного числа в більш компактній формі , що називається показниковою формою комплексного числа .
Показникова функція комплексної змінної володіє і специфічною властивістю: вона є періодичною з уявним основним періодом .
Дійсно,
,
тобто . Відзначимо, що може бути довільним числом крім . Оскільки комплексні числа не порівнюються то не будемо порівнювати з числом , як це робилося у дійсному аналізі :
16.1.3.2. Логарифмічна функція
Ця функція означається як функція, обернена до показникової: число називається логарифмом числа , якщо , позначається . Оскільки значення показової функції завжди відмінні від нуля, то логарифмічна функція визначена на всій площині , крім точки (а отже, має сенс і вираз ).
Поклавши , , одержимо, відповідно до означення логарифмічної функції, , або . Звідси маємо:
, , тобто , ( ).
Отже,
, (1.2)
тобто чи, , де .
Формула (1.2) показує, что логарифмічна функція комплексної змінної має нескінченну множину значень, тобто – багатозначна функція.
Однозначну вітку цієї функції можна виділити, підставивши у формулу (1.2) певне значення . Поклавши , одержимо однозначну функцію, що називається головним значенням логарифма і позначаються символом :
, де . (1.3)
Якщо - дійсне додатне число, то і , тобто головне значення логарифма додатнього числа збігається із звичайним натуральним логарифмом цього числа.
Формулу (1.2) можна переписати так: .
З формули (1.2) випливає, что логарифмічна функція має відомі властивості логарифма дійсної змінної:
,
,
,
.
Доведемо, наприклад, першу властивість:
.
Приклад 2. Обчислити ; ; .
○Для числа маємо , . Отже, , (формули (1.2) і (1.3)); . ●
16.1.3.4. Степенева функція w=zn
Якщо – натуральне число, то степенева функція визначається рівністю . Функція - однозначна.
Якщо , то в цьому випадку
,
де .
Тут функція є багатозначна ( -значна) функція. Однозначну вітку цієї функції можна одержати, поклавши певне значення, наприклад .
Якщо , де , то степенева функція визначається рівністю
.
Функція - багатозначна.
Степенева функція з довільним комплексним показником визначається рівністю
.
Функція визначена для усіх , є багатозначною функцією. Так, , де
При маємо: .