6. Ряды Тейлора

Пусть f(x) определена в некоторой окрестности точки x₀ и имеет в этой точке производные любого порядка (бесконечно дифференцируема). Рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки x₀ называется степенной ряд

(при этом полагаем ).

Теорема 10. Если степенной ряд в некотором интервале сходится к функции f(x) (то есть ), то этот ряд является рядом Тейлора функции f(x), то есть . Тогда получим

. (7)

Не для всякой бесконечно дифференцируемой функции f(x) ряд Тейлора этой функции сходится к f(x). Достаточное условие для этого даёт следующая теорема.

Теорема 11. Если f(x) бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀ и существует такая постоянная величина M , что для любых n  N и x из этой окрестности , то f(x) разлагается в ряд Тейлора:

.

Известны следующие разложения некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (в скобках указана область сходимости ряда):

, ;

, ;

, ;

, (;

, (;

,  (;

, (;

, (.

Пример 11. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням x.

Решение. 1 способ. Разложить функцию по степеням x означает, что её нужно разложить в ряд Тейлора в окрестности точки x₀= 0. Для этого найдём производные заданной функции и их значения в точке

x₀ = 0. Займёмся этим.

, ;

;

,

;

, ;

. . . . . . . . .

; .

Найденные значения подставим в (7), это даст нам требуемое разложение f(x) по степеням x:

.

2 способ. Воспользовавшись записанными выше разложениями функций и sinx, имеем

Замечание. В последнем примере мы поставили знак равенства между самой функцией и её рядом Тейлора. Вообще говоря, это требует обоснования. Сформулируем ещё одно достаточное условие для сходимости ряда Тейлора функции f(x) к самой функции f(x) (более сильное, чем теорема 11).

Теорема 12.  Пусть f(x) определена и непрерывна на отрезке и бесконечно дифференцируема на . Обозначим . Если

, (8)

то ряд Тейлора функции f(x) на промежутке равномерно сходится к f(x):

.

При этом . (9)

Покажем, что для функции из примера 11 выполняется условие (8) при любом конечном . Действительно, , отсюда . Несложно доказывается, что

,

откуда и следует справедливость вышеупомянутого равенства.

Пример 12. Разложить функцию в ряд Тейлора по степеням , используя разложения основных элементарных функций.

Решение. Выражение, стоящее под знаком логарифма, преобразуем таким образом, чтобы выделить выражение :

.

Тогда

,

где . Теперь воспользуемся разложением в ряд Тейлора для функции при :

, .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости .

При получаем знакочередующийся ряд , сходящийся согласно признаку Лейбница. При получаем гармонический ряд, который, как известно, расходится. Таким образом, полученный степенной ряд сходится на промежутке .

Пример 13. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , используя разложение основных элементарных функций.

Решение. Заданную функцию преобразуем следующим образом:

.

Воспользовавшись известными разложениями в ряд Тейлора функций и , получим

Так как ряды Тейлора для cosx и sinx сходятся при любых значениях x, то и полученный ряд функции f(x) будет сходиться для любых x.

Пример 14. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки , используя разложение основных элементарных функций.

Решение. Заданную функцию разложим на сумму простейших дробей:

.

Полученные слагаемые можно представить в виде

=

,

.

Отсюда

.

Осталось выяснить интервал сходимости последнего ряда. Он является пересечением областей сходимости рядов Тейлора для функций и , то есть множеств, задаваемых неравенствами и . Это пересечение даёт .

Пример 15. Найти первые четыре ненулевые члена разложения решения дифференциального уравнения в степенной ряд

, .

Решение. Будем предполагать, что неизвестная функция, являющаяся решением дифференциального уравнения, представима степенным рядом

, (11)

коэффициенты которого определяются путём последовательного дифференцирования исходного уравнения и подстановкой в него и найденных позже значений . Итак, имеем: ,

, ;

, ;

, ;

, ;

, ;

, .

Осталось подставить найденные значения в ряд (11):

,

.