XI. Ряды
1. Числовые ряды. Сходимость числового ряда Числовым рядом называется выражение вида
, (1)
в котором слагаемые – числа, называемые членами ряда.
Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда. Если существует конечный предел , то числовой ряд (1) называется сходящимся, а число S – суммой ряда; в противном случае числовой ряд называется расходящимся. Ряд называется n-м остатком ряда; ряд (1) сходится, если его n-е остатки сходятся и их суммы стремятся к нулю.
Пример 1. Доказать сходимость рядов:
a) ; б) , .
Решение. а) Общий член ряда . и так далее. Эту дробь можно представить в виде суммы двух простых дробей
.
Поэтому n-ю частичную сумму ряда можно записать следующим образом:
.
Имеем . Таким образом, наш числовой ряд сходится к сумме .
б) Члены числового ряда образуют геометрическую прогрессию с первым (нулевым) членом и знаменателем q. При прогрессия является убывающей, и ряд сходится к .
Критерий Коши. Для сходимости числового ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало натуральное число такое, что для любых n > N и m > 0 справедливо неравенство
. (2)
Пример 2. Доказать расходимость гармонического ряда .
Решение. Зададимся и и найдём номер N, такой что для любого
.
Имеем
, ,
.
В последней сумме n слагаемых и наименьшее из них равно . Если каждое из слагаемых заменить на меньшее, то сумма уменьшится, поэтому
.
Как видим, для любого n и не выполняется условие критерия Коши, следовательно, ряд расходится.
Необходимое условие сходимости. Если числовой ряд (1) сходится, то .
Пример 3. Доказать расходимость ряда .
Решение. Проверим выполнение необходимого условия сходимости. Имеем ,
.
Так как , то ряд расходится.
Отметим, что необходимое условие сходимости () не является достаточным для сходимости ряда (пример 2).
2. Признаки сходимости числовых рядов
Теорема 1 (первый признак сравнения). Пусть наряду с рядом (1) дан числовой ряд и пусть для любого . Тогда:
если ряд сходится, то ряд (1) также сходится;
если ряд расходится, то ряд также расходится.
Теорема 2 (второй признак сравнения). Пусть наряду с рядом (1) дан числовой ряд () и пусть существует предел , при этом . Тогда ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости (то есть или одновременно сходятся, или одновременно расходятся).
Часто при исследовании на сходимость ряда используется тот хорошо известный факт, что ряд
Пример 4. Исследовать на сходимость ряды: а) , б) , в) , г) , д) ,
е) .
Решение. а) В качестве вспомогательного ряда возьмём числовой ряд , сходимость которого доказана в примере 1 (а). Имеем , ,
для любого n .
Согласно первому признаку сравнения, сходимость ряда влечёт за собой сходимость нашего ряда .
б) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд .Имеем
, ,
.
Так как , то ряды , ведут себя одинаково в смысле сходимости. Но ряд сходится , следовательно, сходится и наш ряд.
в) В качестве вспомогательного ряда возьмём . Имеем
, ,
.
Так как , то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости. Ряд расходится , следовательно, наш ряд расходится.
г) Для сравнения возьмём ряд . Так как это ряд вида , где , то он сходится.
Применим предельный признак сравнения:
.
При и величина эквивалентна .
Поэтому .
Так как ряд сходится, то и данный ряд сходится.
д) При бесконечно малая величина эквивалентна . Поэтому для сравнения возьмём ряд . Этот ряд вида , где . Следовательно, ряд сходится.
Применим предельный признак сравнения:
.
Так как ряд сходится, то и данный ряд сходится.
е) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд .
Сравним его со сходящимся рядом по предельному признаку сравнения.
Поскольку , а ряд сходится, то и ряд сходящийся.
Так как , то . Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд сходится.
Теорема 3. Если изменить конечное число членов ряда, то это не скажется на сходимости (расходимости) ряда.
Отсюда следует, что теорема 1 справедлива и в том случае, если неравенство выполняется, начиная с некоторого номера n.
Теорема 4 (признак сходимости Даламбера). Если члены числового ряда (1) положительны и существует предел , то:
при ряд (1) сходится;
при ряд (1) расходится.
Пример 5. Исследовать на сходимость числовые ряды: а), б) , в).
Решение. а) Имеем , , .
Так как , то согласно признаку Даламбера ряд сходится.
б) В данном случае , ,
.
Так как , то ряд сходится.
в) Имеем , ,
.
, следовательно, ряд расходится.
Теорема 5 (радикальный признак Коши). Если члены числового ряда (1) неотрицательны и существует предел , то:
при q < 1 ряд сходится;
при q > 1 ряд расходится.
Пример 6. Исследовать на сходимость числовые ряды: а), б) , в) .
Решение. а) Имеем
.
Так как q = 9/16 < 1, то согласно радикальному признаку Коши ряд сходится.
б) Имеем ,
.
Этот ряд расходится, так как q = 2 > 1.
в) В этом случае ,
.
Так как , то этот ряд сходится.
Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть функция f(x) определена на [1; + ) и является невозрастающей неотрицательной функцией. Пусть для любого n. Тогда числовой ряд (1) и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.
Пример 7. Исследовать на сходимость числовые ряды:
а), б) .
Решение. а) Введём в рассмотрение функцию . Эта функция определена на [2; +), положительна и монотонно убывает в этом промежутке. Более того, при n > 2 . Следовательно, согласно теореме 6, ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости.
Исследуем интеграл на сходимость:
.
Видим, что несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и наш ряд.
б) Рассмотрим функцию , определённую на [2; + ). Она монотонно убывает и положительна на [2; +) и . Выполнены все требования теоремы 6, поэтому ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости. Имеем
.
Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и наш ряд.