3. Знакопеременные ряды. Признак сходимости Лейбница
Числовой ряд называется знакопеременным, если среди его членов есть как положительные, так и отрицательные.
Знакочередующимся рядом называется числовой ряд вида
, (3)
где
.
Теорема 7 (признак
Лейбница). Пусть
дан знакочередующийся ряд (3) и пусть
выполнены два условия: 1)
2)
.
Тогда ряд (3) сходится. Более того, если
rn
– n-й
остаток ряда, то при выполнении условий
1), 2) для знакочередующегося ряда
.
Пример 8.
Исследовать на сходимость числовой ряд
.
Решение.
Данный ряд
является знакочередующимся. Обозначим
.
Проверим выполнение условий 1), 2) теоремы
7.
1) 
,
,
что означает, что первое условие
выполнено.
2) 
– выполнено
и второе условие.
Следовательно, данный ряд сходится.
Числовой ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов:
. (4)
Если же ряд (1) сходится, а ряд (4) расходится, то говорят, что ряд (1) сходится условно.
Теорема 8. Если ряд (1) абсолютно сходится, то он сходится.
4. Функциональные ряды
Функциональным рядом называется выражение вида
, (5)
членами
которого являются функции
с общей областью определения. Совокупность
всех значений переменного x,
для которых сходится функциональный
ряд (5), называется областью сходимости
этого ряда. Функция
,
определённая в области сходимости ряда (5), называется суммой функционального ряда (5). Абсолютная сходимость функционального ряда определяется так же, как и абсолютная сходимость числового ряда. Область абсолютной сходимости функционального ряда можно находить с помощью признаков Даламбера и Коши.
Пример 9. Найти область абсолютной сходимости функционального ряда
,
.
Решение. Для данного ряда
,
.
Найдём предел
=
.
(мы
здесь воспользовались тем, что
).
Согласно радикальному признаку Коши,
ряд сходится, если
,
то есть
.
Решение последнего неравенства имеет
вид: х>13/4. Учитывая область определения
членов функционального ряда, получаем,
что областью абсолютной сходимости
является пересечение множеств (13/4; + )
и (3; + ),
т.е. (13/4; + ).
При
получим числовой ряд
.
Согласно признаку Лейбница, он сходится.
Таким образом, областью сходимости
исходного ряда является множество
.
Говорят, что
функциональный ряд (5) сходится в области
D
равномерно к функции S(x),
если для любого
существует такое
,
что для всех
и для любого
справедливо неравенство
(или
).
Теорема 9 (признак
Вейерштрасса равномерной сходимости).
Пусть
функциональный ряд (5) сходится в области
D
и пусть существует такой сходящийся
числовой ряд
,
,
что
для любого n
и любого
.
Тогда ряд (5) сходится равномерно и
абсолютно в D.
Ряд
в теореме 9 называется мажорирующим
рядом для функционального ряда (5).
5. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
.
(6)
Числа
называются коэффициентами ряда.
Интервалом
сходимости ряда (6) является интервал
.
Число R,
называемое радиусом сходимости, может
быть найдено с помощью формулы
или
.
При этом R
может равняться 0 или + .
Степенной ряд может сходиться, может
расходиться на концах интервала
сходимости. Таким образом, областью
сходимости степенного ряда (6) могут
быть интервал, полуинтервал или замкнутый
промежуток с центром в точке
.
Если
степенной ряд (6) в интервале
сходится
к функции f(x),
то будем писать
.
Степенной ряд сходится в любом замкнутом промежутке, принадлежащем интервалу сходимости, абсолютно и равномерно.
В интервале сходимости степенного ряда его можно дифференцировать почленно сколько угодно раз, то есть
,
,
,
при этом интервал сходимости степенного ряда, получающегося из исходного путём почленного дифференцирования, остаётся тем же.
Степенной
ряд допускает и почленное интегрирование
в интервале сходимости, то есть если
– интервал сходимости степенного ряда
(6) и
,
то
.
Пример 10. Найти область сходимости степенного ряда:
а)
;
б)
.
Решение. а) Ряд
является степенным (так как
),
поэтому он сходится абсолютно в интервале
сходимости. Обозначим
,
тогда
.
Согласно признаку Даламбера, для
абсолютной сходимости ряда
достаточно потребовать, чтобы
(при
ряд будет расходиться). Имеем
.
Наш
ряд сходится при
и расходится при
.
Решим первое неравенство:
;
–3 < 2x
– 1 < 3; –2 < 2x
< 4;
–1 < x < 2. Таким образом, (–1; 2) является интервалом сходимости ряда. Исследуем поведение ряда на концах интервала.
При
x= –1
получаем числовой ряд
.
Это знакочередующийся ряд, удовлетворяющий
условиям теоремы Лейбница:
,
.
Поэтому ряд
сходится, и точка x
= –1 принадлежит области сходимости.
При
x = 2
получаем числовой ряд
.
Это гармонический ряд, и он расходится.
Следовательно, точка x
= 2 не принадлежит области сходимости
степенного ряда.
Итак,
областью сходимости степенного ряда
является полуинтервал [–1; 2).
б) Ряд
является степенным. Обозначим
,
тогда
.
Имеем
.
Ряд
будет сходиться при
или
.
Исследуем ряд на сходимость на концах
интервала, то есть при
.
При
получаем числовой ряд
,
являющийся знакочередующимся. Он
сходится по признаку Лейбница, так как
абсолютные величины его членов монотонно
убывают и
.
Следовательно, точка
принадлежит области сходимости.
При
получаем числовой ряд
и он тоже сходится по признаку Лейбница.
Таким
образом, областью сходимости нашего
степенного ряда является отрезок
.