XI. Ряды

1. Числовые ряды. Сходимость числового ряда Числовым рядом называется выражение вида

, (1)

в котором слагаемые – числа, называемые членами ряда.

Сумма n первых членов ряда называется n-й частичной суммой ряда. Если существует конечный предел , то числовой ряд (1) называется сходящимся, а число S – суммой ряда; в противном случае числовой ряд называется расходящимся. Ряд называется n-м остатком ряда; ряд (1) сходится, если его n-е остатки сходятся и их суммы стремятся к нулю.

Пример 1. Доказать сходимость рядов:

a) ; б) , .

Решение. а) Общий член ряда . и так далее. Эту дробь можно представить в виде суммы двух простых дробей

.

Поэтому n-ю частичную сумму ряда можно записать следующим образом:

.

Имеем . Таким образом, наш числовой ряд сходится к сумме .

б) Члены числового ряда образуют геометрическую прогрессию с первым (нулевым) членом и знаменателем q. При прогрессия является убывающей, и ряд сходится к .

Критерий Коши. Для сходимости числового ряда (1) необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало натуральное число такое, что для любых n > N и m > 0 справедливо неравенство

. (2)

Пример 2. Доказать расходимость гармонического ряда .

Решение. Зададимся и и найдём номер N, такой что для любого

.

Имеем

, ,

.

В последней сумме n слагаемых и наименьшее из них равно . Если каждое из слагаемых заменить на меньшее, то сумма уменьшится, поэтому

.

Как видим, для любого n и не выполняется условие критерия Коши, следовательно, ряд расходится.

Необходимое условие сходимости. Если числовой ряд (1) сходится, то .

Пример 3. Доказать расходимость ряда .

Решение. Проверим выполнение необходимого условия сходимости. Имеем ,

.

Так как , то ряд расходится.

Отметим, что необходимое условие сходимости () не является достаточным для сходимости ряда (пример 2).

2. Признаки сходимости числовых рядов

Теорема 1 (первый признак сравнения). Пусть наряду с рядом (1) дан числовой ряд и пусть для любого . Тогда:

если ряд сходится, то ряд (1) также сходится;

если ряд расходится, то ряд также расходится.

Теорема 2 (второй признак сравнения). Пусть наряду с рядом (1) дан числовой ряд () и пусть существует предел , при этом . Тогда ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости (то есть или одновременно сходятся, или одновременно расходятся).

Часто при исследовании на сходимость ряда используется тот хорошо известный факт, что ряд

Пример 4. Исследовать на сходимость ряды: а) , б) , в) , г) , д) ,

е) .

Решение. а) В качестве вспомогательного ряда возьмём числовой ряд , сходимость которого доказана в примере 1 (а). Имеем , ,

для любого n .

Согласно первому признаку сравнения, сходимость ряда влечёт за собой сходимость нашего ряда .

б) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд .Имеем

, ,

.

Так как , то ряды , ведут себя одинаково в смысле сходимости. Но ряд сходится , следовательно, сходится и наш ряд.

в) В качестве вспомогательного ряда возьмём . Имеем

, ,

.

Так как , то ряды и ведут себя одинаково в смысле сходимости. Ряд расходится , следовательно, наш ряд расходится.

г) Для сравнения возьмём ряд . Так как это ряд вида , где , то он сходится.

Применим предельный признак сравнения:

.

При и величина эквивалентна .

Поэтому .

Так как ряд сходится, то и данный ряд сходится.

д) При бесконечно малая величина эквивалентна . Поэтому для сравнения возьмём ряд . Этот ряд вида , где . Следовательно, ряд сходится.

Применим предельный признак сравнения:

.

Так как ряд сходится, то и данный ряд сходится.

е) В качестве вспомогательного ряда возьмём ряд .

Сравним его со сходящимся рядом по предельному признаку сравнения.

Поскольку , а ряд сходится, то и ряд сходящийся.

Так как , то . Следовательно, по признаку сравнения исходный ряд сходится.

Теорема 3. Если изменить конечное число членов ряда, то это не скажется на сходимости (расходимости) ряда.

Отсюда следует, что теорема 1 справедлива и в том случае, если неравенство выполняется, начиная с некоторого номера n.

Теорема 4 (признак сходимости Даламбера). Если члены числового ряда (1) положительны и существует предел , то:

при ряд (1) сходится;

при ряд (1) расходится.

Пример 5. Исследовать на сходимость числовые ряды: а), б) ,     в).

Решение. а) Имеем   ,    , .

Так как , то согласно признаку Даламбера ряд сходится.

б) В данном случае , ,

.

Так как , то ряд сходится.

в) Имеем , ,

.

, следовательно, ряд расходится.

Теорема 5 (радикальный признак Коши). Если члены числового ряда (1) неотрицательны и существует предел , то:

при q < 1 ряд сходится;

при q > 1 ряд расходится.

Пример 6. Исследовать на сходимость числовые ряды: а),      б) ,      в) .

Решение. а) Имеем

.

Так как q = 9/16 < 1, то согласно радикальному признаку Коши ряд сходится.

б) Имеем ,

.

Этот ряд расходится, так как q = 2 > 1.

в) В этом случае ,

.

Так как , то этот ряд сходится.

Теорема 6 (интегральный признак Коши). Пусть функция f(x) определена на [1; + ) и является невозрастающей неотрицательной функцией. Пусть для любого n. Тогда числовой ряд (1) и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Пример 7. Исследовать на сходимость числовые ряды:

а), б) .

Решение. а) Введём в рассмотрение функцию . Эта функция определена на [2; +), положительна и монотонно убывает в этом промежутке. Более того, при n > 2 . Следовательно, согласно теореме 6, ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости.

Исследуем интеграл на сходимость:

.

Видим, что несобственный интеграл расходится, следовательно, расходится и наш ряд.

б) Рассмотрим функцию , определённую на [2; + ). Она монотонно убывает и положительна на [2; +) и . Выполнены все требования теоремы 6, поэтому ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково в смысле сходимости. Имеем

.

Так как несобственный интеграл сходится, то сходится и наш ряд.