Глава I. Элементы линейной алгебры
§ 1. Матрицы. Виды матриц
Определение.
Матрицей
размера
называется
прямоугольная таблица чисел, содержащая
строк и
столбцов.
Числа, составляющие матрицу, называются ее элементами.
Матрицы
обозначаются заглавными буквами
латинского алфавита А, В, С, а для
обозначения элементов матрицы
используются, соответственно, строчные
буквы с двойными индексами:
,
где i – номер
строки, j – номер
столбца.
|
Записывают матрицу так |
|
или в сокращенном
виде:
,
где
,
( i
принимает
значения от 1 до
;
j
принимает
значения от 1 до
).
Например,
.
Наряду с круглыми
скобками используются и другие
обозначения:
.
Определение.
Матрицы одного размера называются
равными,
если их элементы совпадают, т.е.
,
для любых
,
.
Виды матриц.
1. Матрица, состоящая из одной строки, называется
матрицей
(вектором) - строкой:
.
|
2. Матрица, состоящая из одного столбца, называется матрицей (вектором)- столбцом: |
|
.
3. Матрица, содержащая
одну строку и один столбец, отождествляется
с числом.
- есть число
.
- есть число
.
4. Матрица называется
квадратной
-
го
порядка,
если число ее строк равно числу столбцов
и равно
.
-
квадратная матрица 3-го порядка.
Определение.
Элементы матрицы
,
у которых
номер строки
равен номеру столбца
,
называются диагональными
элементами
и образуют главную
диагональ
матрицы.
5. Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.
Например,
-
диагональная матрица 3-го порядка.
6. Диагональная
матрица
-
го порядка,
все диагональные элементы которой равны
1, называется единичной
матрицей
-
го
порядка.
Она обозначается буквой Е.
Например,
- единичная матрица 3-го порядка.
7. Матрица любого порядка, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Она обозначается буквой О.
Например,
- нулевая матрица.
Матрицы Е и О играют ту же роль, что и числа 1 и 0 в арифметике.
§ 2. Действия над матрицами
-
Умножение на число. Сложение и вычитание
1. Умножение матрицы на число возможно для матриц любого размера.
Определение.
Произведением матрицы
на число
называется матрица
,
каждый элемент которой
для
,
.
Например,
.
Следствие. Общий множитель всех элементов матрицы можно выносить за знак матрицы.
В частном случае
число 0 , умноженное на
,
есть нулевая матрица, т.е.
.
2. Сложение матриц возможно только для матриц одинакового размера.
Определение.
Суммой матриц
и
называется матрица
,
каждый элемент которой
для
,
.
(т.е. матрицы складываются поэлементно).
В частном случае
.
Например,
.
3. Вычитание матриц можно выполнить с помощью двух предыдущих операций, т.е.
.
-
Умножение матриц
Умножение матрицы
на матрицу
возможно, когда число столбцов первой
матрицы (
)
равно числу строк второй матрицы (
).
В
результате получается матрица, число
строк которой равно числу строк матрицы
;
а число столбцов равно числу столбцов
матрицы
.
Схема:
Определение.
Произведением
матриц
и
называется матрица
,
каждый элемент которой
равен сумме
произведений элементов
- й строки первой матрицы (
)
на соответствующие элементы
-
го столбца второй матрицы (
).
Схема вычисления:
Например,
.
.
В частном случае
.
Многие свойства операций над числами выполняются и для операций над матрицами:
|
1)
|
6)
|
|
2)
|
7)
|
|
3)
|
8)
|
|
4)
|
9)
|
|
5)
|
|
+
=
+
+(
+
)=(
+
)+
Однако некоторые свойства произведения чисел не выполняются для произведения матриц:
- произведение
не всегда равно
;
(если
,
то матрицы называются перестановочными).
- произведение
двух ненулевых матриц может равняться
нулевой матрице:
.