
- •Содержание
- •4.1. Основные понятия 10
- •5.1. Основные понятия 12
- •7.1. Основные понятия 18
- •Глава I. Элементы линейной алгебры
- •§ 1. Матрицы. Виды матриц
- •§ 2. Действия над матрицами
- •Умножение на число. Сложение и вычитание
- •Умножение матриц
- •Возведение в степень. Транспонирование матрицы
- •§3. Определители
- •3.1. Основные понятия
- •3.2. Свойства определителей
- •§4. Обратная матрица
- •4.1. Основные понятия
- •4.2. Вычисление обратной матрицы методом присоединенной матрицы.
- •4.3. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •§ 5. Системы m линейных уравнений с n переменными
- •5.1. Основные понятия
- •Системы n линейных уравнений с n переменными. Формулы Крамера. Метод обратной матрицы.
- •Метод обратной матрицы
- •Метод Гаусса
- •Глава II. Элементы векторной алгебры
- •§ 6. Прямоугольная система координат в пространстве
- •§ 7. Векторы
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Линейные операции над векторами
- •7.3. Разложение вектора по базису. Координаты вектора Модуль вектора. Направляющие косинусы
- •7.4. Действия над векторами, заданными координатами
- •7.5. Деление отрезка в данном отношении
- •§9. Векторное произведение векторов
- •9.1. Определение и вычисление векторного произведения векторов
- •9.2. Свойства векторного произведения
- •9.3. Приложения векторного произведения
- •§ 10. Смешанное произведение векторов
- •10.1. Определение, свойства и вычисление смешанного произведения векторов
- •10.2. Приложения смешанного произведения
- •Глава III. Аналитическая геометрия на плоскости
- •§ 11. Системы координат на плоскости
- •11.1. Прямоугольная и полярная системы координат
- •11.2. Связь между прямоугольными и полярными координатами
- •11.3. Преобразование прямоугольных координат
- •§ 12. Прямая на плоскости
- •12.1. Общее уравнение прямой на плоскости
- •12.2. Частные случаи расположения прямой на плоскости. Уравнение в отрезках на осях
- •Уравнение прямой, проходящей через данную точку: а) параллельной данной прямой; б) перпендикулярной данной прямой.
- •Уравнение прямой , проходящей через две точки. Каноническое уравнение прямой. Параметрические уравнения прямой.
- •12.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
- •12.6. Взаимное расположение прямых на плоскости. Расстояние от точки до прямой
- •§ 13. Линии второго порядка на плоскости
- •13.1. Эллипс
- •13.2. Гипербола
- •13.3. Парабола
- •13.4. Общее уравнение линии второго порядка
- •Глава IV. Аналитическая геометрия в пространстве
- •§ 14. Плоскость
- •14.1. Общее уравнение плоскости
- •14.2. Расположение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости в отрезках на осях.
- •14.3. Уравнение плоскости, проходящей через три точки
- •14.4. Нормальное уравнение плоскости
- •14.5. Пучок плоскостей
- •14.6. Взаимное расположение плоскостей. Расстояние от точки до плоскости
- •§ 15. Прямая в пространстве.
- •15.1. Общие, канонические и параметрические уравнения прямой
- •15.2. Уравнения прямой, проходящей через две точки
- •15.3. Взаимное расположение прямых в пространстве. Условие принадлежности двух прямых одной плоскости.
- •§ 16. Прямая и плоскость в пространстве. Условие принадлежности прямой плоскости.
- •§ 17. Поверхности второго порядка
- •17.1. Эллипсоид.
- •Однополостный гиперболоид.
- •Двуполостный гиперболоид.
- •Эллиптический параболоид.
- •Гиперболический параболоид
- •17.6. Конус второго порядка
- •17.7. Цилиндрические поверхности
- •Литература
13.2. Гипербола
Определение.
Гиперболой
называется множество всех точек
плоскости, модуль разности расстояний
от каждой из которых до двух данных
точек
и
,
называемых фокусами
гиперболы,
есть величина постоянная
,
меньшая, чем расстояние между фокусами
.
Каноническое
уравнение гиперболы
имеет вид
,
где
.
Расположим систему
координат следующим образом: за ось
примем прямую, проходящую через фокусы
и
,
за ось
примем перпендикуляр к оси абсцисс,
проходящий через середину отрезка
.
Гипербола имеет
две оси симметрии (оси координат), с
одной из которых она пересекается в
точках
,
,
называемых вершинами
гиперболы.
Отрезок
- действительная
ось,
- мнимая ось.
Параметры
и
,
входящие в каноническое уравнение,
называются полуосями
гиперболы,
а
называется фокусным
расстоянием гиперболы.
Прямоугольник со
сторонами
и
называется основным
прямоугольником гиперболы.
Диагонали этого прямоугольника называются асимптотами гиперболы.
Уравнения асимптот
имеют вид:
Эксцентриситетом
гиперболы
называется отношение фокусного расстояния
к длине действительной полуоси
.
Очевидно, что
.
Прямые
называются директрисами
гиперболы
.
Пусть точка
-
произвольная точка гиперболы.
Длины отрезков
и
называются фокальными
радиусами
.
и
Если гипербола
расположена так, что ее фокусы лежат на
оси
,
то действительной осью будет отрезок
,
а мнимой осью - отрезок
и уравнение ее имеет вид
Тогда
и директрисами
являются прямые
, а асимптоты будут те же , что и у гиперболы
(1).
Гиперболы (1) и (2) называются сопряженными.
Если
,
то гипербола называется равносторонней.
Простейшие уравнения равносторонней гиперболы имеют вид:
,
.
Если центр гиперболы
находится в точке
и оси параллельны осям координат, то
уравнение ее имеет вид:
или
.
13.3. Парабола
Определение.
Параболой
называется множество всех точек
плоскости, каждая из которых одинаково
удалена от данной точки
,
называемой фокусом,
и данной прямой
,
называемой директрисой.
Величина
,
равная расстоянию от фокуса до директрисы,
называется параметром
параболы.
Расположим систему координат следующим образом: за одну из координатных осей примем ось параболы, а за другую – прямую, перпендикулярную оси и проведенную посередине между фокусом и директрисой.
Тогда уравнения параболы будут иметь вид:
|
|
|
|
Пусть вершина
параболы находится в точке
,
тогда ее уравнения имеют вид:
если ось параболы
параллельна оси
,
то
;
если ось параболы
параллельна оси
,
то
.
Пример.
Построить
параболу
.
Записать координаты фокуса и уравнения
директрисы.
Из канонического уравнения параболы определим:
1)
.
2) Ось параболы -,
вершина - точка
,
фокус -
,
директриса - прямая
.
3) Из определения
параболы следует, что параболе принадлежат
точки, которые лежат на прямой, параллельной
директрисе, на расстоянии
от фокуса.