§ 4. Классификация функций

4.1. Обратная функция

Пусть функция от с областью значений . Пусть, кроме того, каждому значению соответствует только одно значение . Тогда на множестве определена функция с областью значений , обладающая свойством для любого из множества .

Функция называется обратной к функции. Если – обратная функция к , то функция – обратная функция к . Про функции и говорят, что они являются взаимно обратными.

Чтобы найти функцию, обратную к функции , достаточно решить уравнение относительно . Традиционно независимую переменную обозначают , а зависимую .

Например, функции и взаимно обратные. Графики их симметричны относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Из определения обратной функции следует, что для любой строго монотонной функции существует обратная. При этом если возрастает, то и также возрастает.

Например, функция на строго возрастает.

На этом промежутке существует обратная ей функция , которая также возрастает.

4.2. Сложная функция

Пусть функция определена на множестве , а функция определена на множестве , причем соответствующее значение . Тогда функция , определенная на множестве , называется сложной функцией ( или суперпозицией заданных функций или функцией от функции) с аргументом .

Например, – сложная функция, аргумент .

4.3. Основные элементарные функции и их графики

Основными элементарными функциями называют следующие функции.

1. Степенная функция , .

Примеры графиков степенных функций, соответствующих различным показателям степени, показаны на рисунках.

2. Показательная функция , , .

На рисунке показаны графики функций, соответствующие различным основаниям.

3. Логарифмическая функция , , .

Графики логарифмических функций, соответствующие различным основаниям логарифма, показаны на рисунке.

4. Тригонометрические функции , , , .

Графики тригонометрических функций показаны на рисунках.

5. Обратные тригонометрические функции , , , .

Графики обратных тригонометрических функций показаны на рисунках:

Все функции, получаемые из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными функциями.

Например:

функции , , – элементарные; функция не является элементарной.

§ 5. Числовые последовательности

Бесконечной числовой последовательностью называется числовая функция натурального аргумента, т.е. функция, определенная на множестве . Она записывается или сокращенно , где – элементы или члены числовой последовательности;

– номер члена последовательности;

– общий или -ый член последовательности.

Последовательность считается заданной, если известна формула для .

Например,

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого выполняется неравенство , т.е. .

Например, – ограничена, так как ;

– неограничена.

Можно заметить, что члены последовательности при , неограниченно приближаются к .

В этом случае говорят, что число 1 называется пределом данной последовательности.

Определение. Число называется пределом последовательности при , если для любого сколь угодно малого положительного числа найдется такое натуральное число (зависящее от ), что для всех членов последовательности с номерами выполняется неравенство . При этом пишут: и говорят, что последовательность сходится к числу .

Определение можно записать с помощью логических символов:

Геометрический смысл предела последовательности.

Неравенство равносильно неравенству , которое показывает, что принадлежит – окрестности точки .

Геометрически определение предела последовательности можно сформулировать так: число называется пределом последовательности , если для любой – окрестности точки найдется такое число , что все значения , для которых , попадут в – окрестность точки .

Из рисунка видно, что в – окрестности точки находится бесконечное число членов последовательности, а вне ее - конечное число.

Отсюда следует, что сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Не всякая последовательность имеет предел. Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся (обозначается ).

Сформулируем признак существования предела последовательности.

Теорема Вейерштрасса. Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Например:

1) Последовательность – монотонно убывает и ограничена, следовательно, .

2) Последовательность – монотонно возрастает и ограничена, следовательно, .

Можно показать, что число , является основанием натурального логарифма .