
- •Содержание
- •Глава I. Функция и ее предел
- •§ 1. Множества
- •§ 2. Понятие функции
- •§ 3. Основные характеристики функции
- •§ 4. Классификация функций
- •4.1. Обратная функция
- •4.2. Сложная функция
- •4.3. Основные элементарные функции и их графики
- •§ 5. Числовые последовательности
- •§ 6. Предел функции
- •6.1. Предел функции в точке
- •6.2. Предел функции при
- •6.3. Теоремы о пределах функций
- •6.4. Два замечательных предела
- •§ 7. Бесконечно большие и бесконечно малые функции
- •7.1. Бесконечно большие функции и их свойства
- •7.2. Бесконечно малые функции и их свойства
- •7.3. Связь между функцией, ее пределом и б. М. Ф.
- •7.4. Сравнение бесконечно малых функций
- •§ 8. Вычисление пределов функции
- •§ 9. Непрерывность функции
- •9.1. Односторонние пределы
- •Понятие непрерывности функции
- •Классификация точек разрыва функции
- •9.4. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Глава II. Дифференциальное исчисление
- •§ 10. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл
- •10.1. Определение производной
- •10.2. Геометрический смысл производной
- •10.3. Физический смысл производной
- •§ 11. Правила дифференцирования функций и производные элементарных функций
- •Правила дифференцирования
- •11.2. Производные элементарных функций
- •11.3. Логарифмическое дифференцирование
- •11.4. Производные высших порядков
- •Производная неявной функции
- •11.6. Производная функции, заданной параметрически
- •§ 12. Дифференциал функции
- •§ 13. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •Геометрический смысл теоремы Ролля.
- •§ 14. Правило Лопиталя
- •14.1. Теорема Лопиталя
- •14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие
- •§ 15. Исследование функций при помощи производных
- •15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции
- •15.2. Достаточные условия экстремума
- •15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
- •15.4. Асимптоты графика функций
- •15.5. Общая схема исследования функции
- •15.6. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке
- •Литература
§ 15. Исследование функций при помощи производных
15.1. Признак монотонности функции Необходимое условие экстремума функции
Теорема.
Если функция
дифференцируема на интервале
и
на
,
то функция
не убывает ( не возрастает) на
.
Если
на
,
то
возрастает (убывает) на
.
Определение.
Точка
называется точкой локального
максимума
(минимума)
фуннкции
,
если для всех
из
некоторой
-
окрестности точки
выполняется неравенство
при
.
Максимум ()
и минимум (
)
называются экстремумами
функции.
Теорема (необходимое условие экстремума).
Если функция
имеет в точке
экстремум
и дифференцируема в этой точке, то
.
Такие точки называются точками возможного экстремума или критическими или стационарными.
Если
– критическая
точка, то она может и не быть точкой
экстремума.
Например:
,
при
,
но в точке
нет экстремума.
Поэтому условие
является необходимым, но не достаточным,
а точка
-
это точка возможного экстремума.
15.2. Достаточные условия экстремума
Теорема (первое достаточное условие).
Пусть
критическая точка.
Если
при переходе через точку
меняет знак с «+» на «-», то
является точкой локального
максимума.
Если
при переходе через точку
меняет знак с «-» на «+», то
является точкой локального
минимума.
Если
при переходе через точку
не меняет знак, то экстремума в этой
точке нет.
Значения
функции
в точках максимума и минимума называются
соответственно максимум
и минимум
функции и обозначаются:
,
.
Максимум и минимум называются экстремумами
функции.
Схема исследования функции на экстремум.
Пусть
,
,
– это
критические
точки. Отметим
их
на числовой прямой.
Из рисунка видно, что
– это точка
максимума, тогда
;
–
это точка минимума
, тогда
;
не является точкой
экстремума.
В случае, когда исследование знака первой производной слева и справа от критической точки затруднено, можно использовать второе достаточное условие.
Теорема (второе достаточное условие).
Пусть функция
имеет в данной критической точке
конечную вторую производную. Тогда
функция
имеет в точке
локальный максимум, если
,
и локальный минимум если
.
15.3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции
Пусть функция
дифференцируема на интервале
.
Тогда в любой точке этого интервала
существует касательная к графику
функции
,
проходящая через точку
этого графика.
Будем говорить:
-
график функции
на
имеет выпуклость, направленную вниз , если он расположен не ниже любой касательной к графику функции на этом интервале;
2)
график функции
на
имеет выпуклость
, направленную
вверх ,
если он расположен не выше любой
касательной к графику функции на этом
интервале.
Если в точке
график функции
меняет направление выпуклости, то
называют точкой
перегиба графика.
Необходимое условие точки перегиба.
Если в точке
график функции имеет перегиб и непрерывную
вторую производную, то
.
Следует
заметить, что не всякая точка
,
в которой
,
является точкой перегиба.
Такие точки будем называть критическими, или точками возможного перегиба.
Например:
,
,
при
,
но
не является точкой перегиба.
Необходимо дополнительное исследование каждой критической точки.
Достаточное условие точки перегиба.
Пусть функция
имеет вторую производную в некоторой
окрестности точки
и
.
Тогда, если вторая производная
при переходе через критическую точку
меняет знак, то
является точкой перегиба.
Замечание.
Если на некотором интервале
,
то график функции имеет выпуклость
вниз, если
,
то график функции имеет выпуклость
вверх.
Схема исследования графика функции на выпуклость.
Пусть
в точках
и
.
Из
рисунка видно, что
есть точка перегиба;
не является точкой
перегиба.