Геометрический смысл теоремы Ролля.

касательная параллельна оси .

3. Теорема Лагранжа. (Лагранж Жозеф-Луи (1736–1813гг.) – французский математик).

Пусть функция определена на ,

причем: 1) непрерывна на ;

2) дифференцируема на ;

Тогда существует такая точка , что справедлива формула

.

Доказательство. Введем вспомогательную функцию

.

Тогда: 1) непрерывна на , так как является разностью непрерывной функции и линейной ;

2) дифференцируема на , т.е. внутри имеет производную ;

3) ;

Следовательно, по теореме Ролля существует точка , в которой , т.е. . 

Геометрический смысл теоремы Лагранжа.

– это угловой коэффициент секущей, проходящей через точки и кривой ;

– это угловой коэффициент касательной к кривой в точке с координатами .

Таким образом, существует такая точка, в которой касательная параллельна секущей. Таких точек может быть и несколько, но

обязательно одна существует.

Замечание. Равенство , где называют формулой Лагранжа, или формулой конечных приращений.

4. Теорема Коши. (Коши Огюстен Луи (1789–1853гг.) – французский математик).

Пусть функции и непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть .

Тогда существует такая точка , что справедлива формула

.

Эта формула называется формулой Коши, или обобщенной формулой конечных приращений.

Замечание. Для всех четырех теорем указанные в формулировке условия существенны. Если хотя бы одно из них не выполняется, то теоремы не справедливы.

Например, на непрерывна, дифференцируема, но так как и , то теорема Ролля не выполняется, т.е. нет такой точки , где .

Пример. Проверить справедливость теоремы Ролля для функции на и найти .

 ,

, , . 

§ 14. Правило Лопиталя

14.1. Теорема Лопиталя

(Лопиталь Гильон Франсуа (1661–1704) – французский математик).

Теорема. Пусть функции и определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки , но в самой точке могут быть и не определены. Пусть и в указанной окрестности точки .

Тогда, если существует предел

(конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула .

Эту теорему называют правилом Лопиталя.

Правило Лопиталя раскрывает неопределенность .

Замечания.

1. Правило Лопиталя имеет место и в случаях, когда и .

2. Правило Лопиталя можно применять и при раскрытии неопределенностей .

3. Если отношение производных приводит к неопределенностям и , то правило Лопиталя можно применять повторно.

Пример 1.

.

Пример 2. .

14.2. Другие виды неопределенностей и их раскрытие

1. Неопределенности вида и можно свести к неопределенностям и , а затем применить правило Лопиталя.

Пример 1.

Пример 2.

2. , , эти неопределенности с помощью тождества

преобразуются к неопределенностям .

Пример 3. .

Пример 4.

( применили первый замечательный предел)