Лабораторные работы / pr1
.docЗадание
Задана передаточная функция вида:
где k = 0,7;
T1 = 1,76 с;
T2 = 12,7 с;
T0 = 72 с;
T = 0,55 с;
ξ0 = 0,07;
ξ = 0,35.
Необходимо построить желаемую ЛАЧХ тремя способами.
1 Построение переходного процесса
Воспользуемся преобразованием Лапласа, получим:
Переходный процесс будет иметь вид:
Рисунок 1 – Переходный процесс
Проведем прямую оценку качества системы.
1) Находим время переходного процесса – эта величина характеризует быстродействие системы:
hуст = 0,7;
тогда Δ = 5% (hуст) = 0,035.
tр = 2950 с.
2) Определим перерегулирование – максимальное отклонение регулируемой величины от установившегося значения:
3) Находим колебательность системы, которое характеризуется числом колебаний регулируемой величины за время переходного процесса.
h = 6 – количество колебаний (вторая волна не до конца).
m=1,27.
Приемлемым числом колебаний является 1-2.
4) Время нарастания регулируемой величины – время от момента приложения сигнала до того момента, когда выходная величина достигнет своего максимального значения:
tн(tмах) = 210 с.
5) Время первого согласования, т.е. время, когда регулируемая величина первый раз достигает своего установившегося значения:
t1 = 103 с.
6) Декремент
затухания:
= 1,54.
7) Частота колебаний
определяется по формуле
,
где Т-период колебания: Т = 684 с, таким
образом
с-1.
2 Построение ЛАЧХ
Для построения логарифмической характеристики рассмотрим заданную передаточную функцию:
Разобьем числитель и знаменатель на простые звенья, получим:
Таким образом система состоит из четырех звеньев: из двух колебательных и двух форсирующих звеньев.
Приведем каждое звено к стандартному виду:
По полученной передаточной функции построим асимптотическую ЛАЧХ. Для этого необходимо определить частоты излома и коэффициент k:
Расположим звенья по порядку возрастания частот сопряжения при изломе:
Для
– колебательное звено:
Т1 = 71,55 с, тогда частота сопряжения λ1 = 0,0139 с-1.
Для
– форсирующее звено:
Т2 = 12,7 с, тогда частота сопряжения λ2 = 0,09 с-1.
Для
– форсирующее звено:
Т3 = 1,76 с, тогда частота сопряжения λ3 = 0,568 с-1.
Для
– колебательное звено:
Т4 = 1,75 с, тогда частота сопряжения λ4 = 0,57 с-1.
Строим асимптотическую ЛАЧХ (рисунок 2).
3 Первый способ построения ЖЛАЧХ – теоретический
Для построения ЖЛАЧХ воспользуемся номограммой Солодовникова:
По заданному значению перерегулирования по номограмме Солодовникова находим соответствующее этому значению величину Pmax вещественно частотной функции.
По найденному значению Pmax и кривой времени регулирования tр находим время регулирования.
Время регулирование на шкале диаграммы задана в функции частоты среза ωс.
Так как перерегулирование слишком велико и не удовлетворяет допустимым значения, то принимаем σ=30%.
Рmax(ω)=1,27;
Время регулирования равно 2950 с. Находим частоту среза:
.
Найденное значение ωс наносим на шкалу частот. Через полученную точку проводим асимптоту ЖЛАЧХ с наклоном –20 дБ/дек.
Для определения длины воспользуемся формулой:
,
где m – колебательность системы (m=1,27).
.
Низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ оставляем без изменения.
Высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ проводим произвольно.
График желаемой ЛАЧХ изображен на рисунке 4.
4 Второй способ построения ЖЛАЧХ – метод запретной зоны
Для построения ЖЛАЧХ необходимо найти запретную зону, ниже которой ЖЛАЧХ не может опускаться.
Перерегулирование системы составляет 30%. Время регулирования, удовлетворяющее нашей системе равно 2950 с. Колебательность М=1,27. Максимально допустимая ошибка εmax=0,05.
Определяем точность системы по воспроизведению гармонического входного сигнала с рабочей амплитудой А=2,1969 и частотой контрольной точки ω=2 c-1.
g=A·sin(ωt)=2,1969·sin(2t).
Находим первую и вторую производные от g:
g'=A·ω·cos(ωt)=2,1969·2·cos(2t);
g''=-A·ω2·cos(ωt)=-2,1969·22·sin(2t).
Рассмотрим максимальные значения первой и второй производной:
g'max=A·ω=2,1969·2;
g''max=|A·ω2|=2,1969·22.
Численное значение частоты контрольной точки определяется по формуле:
ωmax= g''max/g'max=(2,1969·22)/2,1969·2=2 c-1.
Вычисляем амплитуду конечной точки:
A1=А/εmax=2,1969/0,05=44.
Необходимо это значение определить в дБ.
20lg(A1)=20lg(44)=33 дБ.
Получили точку Ак=(2; 33).
Через полученную точку проводим прямую с наклоном –20 дБ/дек таким образом, чтобы она пересекала обе оси. Все, что лежит ниже получившейся прямой будет запретной зоной.
Получили точку ωс1=90.
По номограмме Солодовникова определяем требуемое значение Рmax, а по этому значению и кривой tр находим время регулирования:
σ=30%;
Рmax(ω)=1,27;
Время регулирования равно 2950 с. Находим частоту среза:
.
Найденное значение ωс наносим на шкалу частот.
Полученное значение попадает в запретную зону, поэтому полученную точку сдвигаем по оси частот и принимаем ее равной ωс1.
Через полученную точку проводим асимптоту желаемой ЛАЧХ с наклоном –20дБ/дек.
Для определения длины воспользуемся формулой:
,
где m – колебательность системы (m=1,27).
.
Низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ оставляем без изменения.
Высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ проводим произвольно.
График желаемой ЛАЧХ изображен на рисунке 5.
5 Второй способ построения ЖЛАЧХ – графический
Для построения ЖЛАЧХ достаточно провести две параллельные прямые, которые будут ограничивать асимптоту с наклоном –20 дБ/дек.
где М – колебательность, М=1,27.
Тогда
Частота среза ωс=90 с-1.
Низкочастотную часть желаемой ЛАЧХ оставляем без изменения.
Высокочастотную часть желаемой ЛАЧХ проводим произвольно.
График желаемой ЛАЧХ изображен на рисунке 6.