- •Производная. Определение, непрерывность функции, имеющей производную.
- •Геометрический смысл производной.
- •Арифметические свойства производной.
- •Производная обратной функции.
- •Производная сложной функции.
- •Производные элементарных функций.
- •Билет 7 Дифференциал функции. Определение. Геометрический смысл.
- •Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.
- •Теорема 1: Для того, чтобы функция была дифференцируемой в точке , необходимо и достаточно , чтобы она имела конечную производную в этой точке.
- •Производные высших порядков. Формула Лейбница.
- •Дифференциалы высших порядков. Инвариантность формы первого дифференциала. Неинвариантность формы дифференциалов второго и высших порядков.
- •Возрастание (убывание) функции в точке. Необходимое и достаточное условие. Теорема Ферма.
- •Теорема Ролля.
- •Теорема Коши. Физический смысл.
- •Теорема о среднем Лагранжа.
- •Достаточное условие невозрастания (неубывания) функции на отрезке. Условие постоянства функции на отрезке.
- •Достаточные условия экстремума.
- •Формула Тейлора для многочленов.
- •Формула Тейлора для дифференцируемых функций.
- •Формула Тейлора для важнейших элементарных функций.
- •Билет 20 Выпуклость функции в точке. Достаточное условие.
- •Теорема 1 (Достаточное условие существования точки перегиба).
- •Непрерывна в и . Тогда, если - нечетное число, то кривая обращена выпуклостью вверх или вниз в зависимости от того, будет ли или, а если четное, то есть точка перегиба кривой.
- •Выпуклость функции на отрезке. Необходимое и достаточное условие.
- •Правило Лопиталя. Случай 0/0.
- •Правило Лопиталя. Случай .
- •Раскрытие неопределенностей вида , ,,, .
- •Асимптота. Уравнение наклонной асимптоты.
- •Первообрáзная. Неопределенный интеграл. Свойства.
- •Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •Интегрирование по частям неопределенного интеграла.
- •Интегрирование простейших рациональных дробей
- •Интегрирование рациональных дробей.
- •Интегрирование выражений вида.
- •Первая подстановка Эйлера (Леонарда)
- •Интегрирование тригонометрических выражений.
- •Тригонометрические подстановки.
- •Определенный интеграл Римана. Эквивалентные определения. Условие Коши.
- •Ограниченность интегрируемой функции.
- •Суммы Дарбу. Их Свойства.
- •Суммы Дарбу и интегрируемость функции по Риману.
- •Билет 41 Основная теорема о существовании определенного интеграла Римана.
- •Равномерная непрерывность функции. Модуль непрерывности.
- •Теорема 2 Функция непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем ().
- •Интегрируемость по Риману непрерывной функции.
- •Интегрируемость по Риману монотонной функции.
- •Аддитивное и однородные свойства определенного интеграла Римана.
- •Неравенства для определенного интеграла Римана и теорема о среднем.
- •Интеграл как функция верхнего предела. Непрерывность и дифференцируемость. Теорема Ньютона-Лейбница.
- •Билет 48 Определение площади. Площадь криволинейной трапеции. Площадь в полярных координатах.
- •Определение объёма. Объем тела вращения.
- •Длина дуги кривой. Определение и вычисление.
Теорема Ролля.
Теорема:
Если функция непрерывна на , дифференцируема на и , то существует точка , такая, что .
Доказательство:
Так как функция f непрерывна на [a,b], то существует точка x1, в которой f достигает максимума и точка x2, в которой f достигает минимума. Рассмотрим 2 случая:
-
Обе точки x1 и x2 совпадают с a или b, тогда
И тогда производная
-
Одна из точек не является концевой отрезка [a,b]. Пусть - та из них, которая , тогда в точке достигается локальный экстремум, кроме того, , так как по условию существует . Поэтому по теореме Ферма , что и требовалось доказать.
Контрпример 1
Уберем непрерывность в точке b: теорема потеряет силу.
Контрпример 2
Уберем дифференцируемость в одной из точек: теорема потеряет силу.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл: если выполнены все условия теоремы, то на графике функции ! существует точка касательная в которой параллельна оси x.
Физический смысл: при прямолинейном движении если перемещение тела = 0, то существует момент времени, в который скорость тела = 0.
Билет 13
Теорема Коши. Физический смысл.
Теорема: (Коши о среднем)
Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a,b] и имеют производные на интервале (a,b), одновременно не обращающиеся в ноль. При этом g(b)-g(a)0 (что следует из условия g΄(x)0). Тогда на интервале (a,b) найдется точка ζ, для которой выполняется неравенство:
, a<ζ<b.
Доказательство: Вводим функцию H(x)=(f(b)-f(a))·g(x)-(g(b)-g(a))·f(x). Очевидно, что она непрерывна на [a,b] и имеет производную на (a,b), т.к. f(b)-f(a) и g(b)-g(a) постоянны. Кроме того, H(a)=H(b), поэтому по теореме Ролля найдется такая точка ζ из (a,b), что H΄(ζ)=0.
H΄(ζ)=(f(b)-f(a))·g΄(ζ)-(g(b)-g(a))·f΄(ζ)(f(b)-f(a))·g΄(ζ)=(g(b)-g(a))·f΄(ζ), т.к. по условию g(b)-g(a)0 и g΄(x)0 на (a,b).
Теорема доказана.
Физический смысл: Если f΄(x) и g΄(x) – скорости, то отношение перемещений равно отношению скоростей в какой-то момент времени.
Билет 14
Теорема о среднем Лагранжа.
Теорема:
Пусть функция непрерывна на отрезке и имеет производную на интервале . Тогда существует на интервале точка , для которой выполняется равенство
(1),
причем .
Доказательство:
В теореме Коши, возьмем . Тогда ,, .
Из теоремы Коши: теорема доказана.
Физический смысл:
Найдется момент времени когда (средняя скорость равна мгновенной)
Геометрический смысл:
Теорема Лагранжа утверждает, что если кривая есть график непрерывной на функции, имеющей производную на , то на этой кривой существует точка, соответствующая некоторой абсциссе такая, что касательная к кривой в этой точке параллельна хорде, стягивающей концы кривой и .
Равенство (1) называется формулой (Лагранжа) конечных приращений. Промежуточное значение удобно записывать в виде , где есть некоторое число, удовлетворяющее неравенствам . Тогда формула Лагранжа примет вид
Она верна, очевидно, не только для , но и для .
Билет 15