50. Сравнение бесконечно-малых функций. Эквивалентные бмф, их использование.

Сравнение БМФ

Опр: Пусть БМФ при х

Если

х²- БМФ более высокого порядка

Опр: Если , то эквивалентные функции.

Правила для вычисления пределов:

1. Сумма БМФ при х эквивалентна БМФ более низкого порядка

2. Сумма ББФ эквивалентна ББФ более высшего порядка

3. Предел отношения 2-ух БМФ равен пределу отношения эквивалентных им функций

Таблица основных эквивалентностей:

sinx

tgx

atcsinx

atctgx

ln(1+x)

Любой пример.

51. Непрерывность функции в точке. Свойства.

Опр: Функция у=f(x) называется непрерывной в т.х₀, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. х₀окрестности т.х₀

2. 

3. 

Дадим х₀ приращение

△f=f(x₀+△x)-f(x₀)

Опр: Функция у=f(x) называется непрерывной в т.х₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Свойства функций, непрерывных в точке:

Т1. Если f(x) и g(x) непрерывны в т.х₀, то

f(x)+g(x)

f(x)*g(x)

непрерывные функции

Т2.Пусть у=f(x) непрерывна в т.х₀ и f(x₀)Тогда знак функции в окрестности т.х₀ совпадает со знаком f(x₀)

Т3. О непрерывности сложных функций

Если у=f(U) непрерывна в т.х₀, а U= непрерывна в т.х₀ (U₀=то сложная функция f(₀

52.Непрерывность функции на отрезке. Свойства.

Опр: Функция называется непрерывной на промежутке Х, если она непрерывна в каждой точке этого пространства.

Доказано, что все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Элементарные функции также непрерывны на области определения.

Свойства функций, непрерывных на промежутке:

Т1. Если у=f(x) непрерывна на [a,b], то она ограниченна на [a,b].

[a,b]) (

Т2. Теорема Вейерштрасса

Если функция у=f(x) непрерывна на [a,b], то она принимает на этом отрезке наибольшее значение М и наименьшее значение m.

Т3.Теорема Больцано-Каши

Если у=f(x) непрерывна на [a,b] и на концах отрезка принимает значение разных знаков, то

Замечание: Т.Больцано-Каши лежит в основе приблизительного метода решений уравнений f(x)=0

53. Точки разрыва функции и их классификация

Опр: Точкой х₀ называется точка разрыва у=f(x), если условие непрерывности в ней не выполняется.

Классификация точек разрыва

1-го рода 2-го рода

точка устранимого точка скачка

разрыва

Опр: Точной х₀ называется точка разрыва 1-го рода, если односторонние пределы при хх₀ существуют

b=c х₀-точка устранимого разрыва

b х₀-точка скачка

Опр: Точка х₀ называется точкой разрыва 2-го рода, если хотя бы один из односторонних пределов равен бесконечности или не существует.

Пример:

1. у=

D(y)= (-

х=3-точка разрыва

=-

=+

х=3-точка разрыва 2-го рода

2. у=

D(y)=(

x=3

x=3-точка разрыва 1-го рода, точка устранимого разрыва

у=