46. Предел функции. Теоремы о существовании пределов

Опр: Число b называется пределом функции f(x) при х, если для сколь угодно малого положительного числа найдется положительное число , что из справедливости ⃓х-а⃓<

Геометрический смысл предела функции

Число b является пределом функции f(x) при х, если независимо от ширины горизонтальной полосы всегда можно указать такое число , что f(x) определена проколотой окрестностью т.а и часть графика функции, попавшая внутрь вертикальной полосы, находится внутри горизонтальной полосы.

Свойства:

Т1. Если последовательность имеет предел, то он единственный

Т2. Предел постоянной последовательности равен самой постоянной

Т3. Если последовательность имеет предел, то она ограниченна

Т4.(Теорема Вейерштрасса). Если последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Т5. Об арифметических операциях:

1.Пусть тогда

1. 

2. 

3. 

2.Пусть f(x)=тогда

Любой пример.

Опр: Если f(x) стремится к пределу b₁ при х так, что х принимает значения, меньшие а, то пишут

, b₁-левосторонний предел

Опр: Если f(x) стремится к пределу b₁ при х так, что х принимает значения, большие а, то пишут

, b₂- правосторонний предел

Теорема. Для того, чтобы функция y=f(x) имела предел при х необходимо и достаточно, чтобы левосторонний и правосторонние пределы были равны.

₁=b₂=b

47. Бесконечно малые и бесконечно большие функции и их свойства

Опр: Функция y=f(x) называется бесконечно малой при х, если

- бесконечно малая функция

Опр: Функция y=f(x) называется бесконечно большой при х, если

, f(x) – бесконечно большая функция

Пример:

Арифметика ББФ не так «хороша» по сравнению с арифметикой БМФ.

Свойства БМФ:

Т1. Если f(x) –БМФ, то

T2. Если f(x) – БМФ с постоянной, т.е. f(x)=, то

T3. Сумма 2-ух БМФ есть БМФ.

Т4. Произведение ограниченной функции и БМФ есть БМФ.

Сравнение БМФ

Опр: Пусть БМФ при х

Если

х²- БМФ более высокого порядка

Опр: Если , то эквивалентные функции.

Правила для вычисления пределов:

1. Сумма БМФ при х эквивалентна БМФ более низкого порядка

2. Сумма ББФ эквивалентна ББФ более высшего порядка

3. Предел отношения 2-ух БМФ равен пределу отношения эквивалентных им функций

Таблица основных эквивалентностей:

sinx

tgx

atcsinx

atctgx

ln(1+x)

48. Основные теоремы о пределах функций. Теоремы о предельном переходе.

Т1.(Теорема Вейерштрасса). Если последовательность монотонна и ограниченна, то она имеет предел.

Т2. Для того, чтобы функция y=f(x) имела предел при х необходимо и достаточно, чтобы левосторонний и правосторонние пределы были равны.

₁=b₂=b

Правила для вычисления пределов:

1. Сумма БМФ при х эквивалентна БМФ более низкого порядка

2. Сумма ББФ эквивалентна ББФ более высшего порядка

3. Предел отношения 2-ух БМФ равен пределу отношения эквивалентных им функций

Таблица основных эквивалентностей:

sinx

tgx

atcsinx

atctgx

ln(1+x)

А также:

1 замечательный предел:

2 замечательный предел:

49. Первый и второй замечательные пределы. Следствие из 2зп

1 замечательный предел:

Доказательство.

Дробь не меняет знак в зависимости от х

Т.к. х

S_OBD<S_{Сектора OBD}<S_OCD

ab, R²ab

1 <

<<1

x

По теореме о сжатии переменной следует, что

Пример.

2 замечательный предел:

Пусть

x

Следствие:

Доказательство.