41. Экспонента с комплексным показателем. Формула Эйлера. Показательная форма записи комплексного числа (кч). Операции над кч в показательной форме.

Показательная и тригонометрическая функции в области КЧ связаны между собой формулой:

е^iq= cosq+isinq-формула Эйлера (1).

Пусть КЧ Z в тригонометрической форме имеет вид Z= r (cosq+isinq). Тогда из (1) следует, что z= re^iq – показательная форма записи КЧ.

ПРИМЕР: z= -1+i

r= |z|= =; q=argz=

z= -показательная форма записи КЧ.

С помощью ф. Эйлера можно определить показательную функцию комплексного аргумента.

Пусть z=x+iy, тогда Любой пример.

Заменим в (1) q на –q. Получим: . Отсюда cosq=.

Аналогично, sinq=. (Любой пример)

Действия над КЧ в показательной форме

Произведение 2-ух КЧ z₁=x₁+iy₁ , z₂=x₂+iy₂ равно z₁z₂=y_1* y₂= y₁y₂=y₁y_2.

Деление ==

Возведение в целую положительную степень - ф. Муавра

Извлечение корня n-степени

42. Функция, область определения функции, график функции, способы задания. Понятие неявной, обратной, сложной функции.

Опр: Пусть заданы 2 непустых множества X и Y. Если каждому элементу х€Х по правилу f соответствует единственное значение у€У, то говорят, что на множестве Х задана функция f со множеством значений У.

x-независимая переменная

у- зависимая переменная, функция

Х-множество переменных

Х=D(f)- область определения-все те значения х, при которых сосчитана функция

У= Е(f)- область значений

Опр: Графиком функции у=f(x)называют множество точек плоскости Оху с координатами (х, f(x)), где х€D(f)

Способы задания:

1. аналитический явно у=f(x)

неявно F(x,y)=0

кусочный

параметрический

2. табличный

3. графический

Опр: Если у зависит от U, а U зависит от х, то у зависит от х, и называется сложной функцией.

у=f(x), U=g(x)

y=f(g(x))

Опр: Функция у=f(x) называется обратимой на Х, если ))

Опр: Пусть у=f(x) – обратимая функция на Х

Выразим из формулы у=f(x) переменную х, получим х=

Заменив у на х , х на у, имеем у=f^-1(x)

43. Основные элементарные функции, их свойства и графики

Опр: Функция, заданная формулой у=а^х, где а>0, аназывается показательной функцией с основанием а.

При а=1 имеем график прямой линии, параллельной Ох.

Свойства: D(y)=

E(y)=

монотонна: возрастает при а>1,

убывает при 0<a<1

неограниченная, непрерывная, непериодическая

Опр: Функция у=, где а>0, а, называется логарифмической. Эта функция является обратной к показательной функции; ее график может быть получен поворотом графика у=а^х вокруг биссектрисы 1 координатного угла.

Свойства: D(y)=

E(y)= ℝ

монотонна: возрастает при а>1

убывает при 0<a<1

неограниченная, непрерывная, непериодическая

Опр: Функция, заданная формулой у=х^α, называется степенной функцией, где α-постоянная.

При α=1 получаем прямую, при α=2-квадратную параболу, при α=-1-гиперболу, при α=3-кубическую параболу.

Свойства: