1.3 Определитель квадратной матрицы

Любой квадратной матрице А n-ого порядка ставится в соответствие по определенному закону число, называемое определителем или детерминантом n-ого порядка матрицы.

1.3.1 Вычисление определителя квадратной матрицы

А=(а₁₁) матрица 1-ого порядка

₁= а₁₁= а₁₁  7=7  -3=-3

А= матрица 2-ого порядка

₂=

т.е определитель 2-ого порядка равен разности произведений элементов, стоящих по главной диагонали и элементов по побочной диагонали.

А= матрица 3-его порядка

Определитель 3-его порядка можно вычислить по правилу треугольника, схеме Саррюса и др. сп.

Правило треугольника:

₃=

Пример1:

1.3.2 Теорема Лапласа для вычисления определителя квадратной матрицы.

- Минор элемента а_ij, М_ij

Минором элемента а_ij квадратной матрицы n-ого порядка называется определитель n-1 порядка, полученного путем вычеркивания i-ой строки и

j-ого столбца.

А= М₁₃= М₂₂= М₃₂=

- Алгебраическое дополнение элемента a_ij, A_ij

Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij квадратной матрицы n-ого порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)^i+j.

A_ij=(-1)^i+jM_ij

А= А₁₃=(-1)¹⁺³ А₂₂=(-1)²⁺²М₂₂=120=20

- Теорема Лапласа

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

=а_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in=

Пример 2. Вычислить определитель:

Решение:

Для вычисления данного определителя воспользуемся теоремой Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов, какой либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Для более удобного вычисления выполним элементарные преобразования: умножим элементы 1-ой строки на 1, (-2), (-1), и прибавляя их соответственно к элементам 2-ой, 3-ей, 4-ой строк, добиваемся того, чтобы все элементы 3-его столбца(кроме а₁₃) равнялись нулю и разложим определитель по элементам 3-его столбца:

Для вычисления последнего определителя воспользовались правилом треугольника.

Ответ: определитель матрицы равен - 9.

§ 2 Системы линейных уравнений

2.1 Определения и основные понятия.

- Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

а_ij , b_i (i=1,2,…m) (j=1,2,…n) – произвольные числа:

а_ij – коэффициенты при переменных х_j ;

b_i – свободные члены.

- Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор (k₁,k₂,…k_n) при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в истинное числовое равенство.

- Решить систему это, значит, найти множество всех его решений.

- Система может иметь:

а) единственное решение;

б) бесконечное множество решений;

в) пустое множество решений.

- Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

- Система, имеющая пустое множество решений, называется несовместной.

- Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной.

- Совместная система, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределенной.

-Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

- Элементарные преобразования, позволяющие получить систему, равносильную данной:

а) перестановка уравнений;

б) вычеркивание из системы уравнения вида

0х₁+0х₂+…+0х_n=0;

в) умножение обеих частей, какого то уравнения на одно и то же число отличное от нуля;

г) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и тоже число.

2.2 .Решение систем методом Крамера.

Для простоты рассуждений рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными

(1.2)

где а_ij,b_i –постоянные коэффициенты, (i=1,2,3, j=1,2,3), а х_i – неизвестные.

Решением системы (1.2) называется совокупность чисел х₁, х₂, х₃, которые обращают уравнения системы в верное числовое равенство.

Обозначим через Δ, Δ₁, Δ₂, Δ₃ следующие определители:

Определитель Δ называется определителем системы (1.2) и составлен из коэффициентов при неизвестных этой системы. Определители Δ₁, Δ₂, Δ₃ получаются из него путем замены первого, второго , третьего столбцов столбцом свободных членов. Правило Крамера состоит в том, что, если Δ0, то неизвестные х₁, х₂, х₃ находятся по формулам:

.

Если же Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ₁ или Δ₂ или Δ₃ не равен нулю, то система (1.2) решений не имеет. Если же Δ =0 и Δ₁ =Δ₂ =Δ₃=0, то система (1.2) имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Вычислим определитель Δ системы:

Вычислим определители Δ₁, Δ₂, Δ₃:

Таким образом,

.

Итак, х₁=1, х₂ =6, х₃ =5

2.3 Метод обратной матрицы.

Обозначим через матрицу А матрицу системы (1.2), составленную из коэффициентов при неизвестных, через Х – матрицу – столбец из неизвестных, через В – матрицу- столбец из свободных членов:

.

Определение. Матрица А^-1 называется обратной для матрицы А, если

А^-1·А=А·А^-1 =Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Определение. Матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т.е.

Каждая невырожденная матрица А имеет обратную, причем

,

где А₁₁, А₁₂, …А₃₃ – алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Систему (1.2) можно записать в матричной форме: А·Х=В.

Умножим слева на А^-1 обе части этого равенства, получим:

А^-1·А·Х = А^-1·В. Так как А^-1·А=Е, имеем Х= А^-1·В – это решение системы в матричном виде. Следовательно, матрица – решение Х находится как произведение А^-1 и В.

Пример. Решить систему методом обратной матрицы:

Обозначим:

Тогда в матричной форме система имеет вид: АХ=В. Чтобы решить матричное уравнение, составим матрицу обратную матрице А.

Чтобы определить, имеет ли матрица А обратную нужно найти её определитель. Если _А,0, то матрица А имеет обратную матрицу А

т. к. определитель матрицы А |А| О, то матрица А имеет обратную матрицу А^-1

Составим транспонированную матрицу:

Найдем алгебраические дополнения для Аij по формуле: Аij=(-l)^i+j • М_:/, где М_ц – минор. Минором М_ц называется определитель матрицы, полученный путём вычёркивания i-строки и j-столбца.

Из алгебраических дополнений составим присоединённую матрицу

Находим обратную матрицу по формуле

Можно проверить правильность составления обратной матрицы

А ^-1 • А = Е:

Теперь по формуле Х=А^-1В находим матрицу Х

Получили решение (1;1;1)