11. Необходимое и достаточное условие постоянства функции.

Для того чтобы непрерывная на [a, b] и дифференцируемая на интервале (a, b) функция f(x) была постоянной, необходимо и достаточно, чтобы f ´(x) = 0 для любого х(a, b), т.е. (f (x)  c, где с – const)  (f ´(x) = 0 х(a, b))

Доказательство:

1) Необходимость: Если f (x)  c, то f ´(x) = с´ = 0  х(a, b).

2) Достаточность: f ´(x) = 0 х(a, b)  f(x)  c

На [a, х]  [a, b] функция f (x) удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа:

f(x) - f(a) = f ´(ξ) (x – a), где ξ  [a, x]  [a, b].

Так как f ´(x) = 0 х(a, b), в том числе и в точке ξ  [a, x]  [a, b], т.е.

f ´(ξ) = 0, то f (x)  f (a) = 0 или f (x) = f (a) = const.

12. Монотонность функции. Достаточное условие строгой монотонности. Необходимое и достаточное условие монотонности.

Функция y = f (x) называется возрастающей (неубывающей) на отрезке [a, b]  D(f), если для любых точек х₁, х₂[a, b] таких, что x₂ > x₁, выполняется неравенство: f (x₂)  f (x₁). Если это неравенство является строгим (f (x₂) > f (x₁)), то функцию f называют строго возрастающей на отрезке [a, b].

Функция y = f (x) называется убывающей (невозрастающей) на отрезке [a, b]  D(f), если для любых точек х₁, х₂ [a, b] таких, что x₂ > x₁, выполняется неравенство: f (x₂)  f (x₁) (соответственно для случая строго убывающей функции f (x₂) < f (x₁)).

Убывающие и возрастающие функции объединяют названием монотонные, а строго возрастающие и строго убывающие – строго монотонные.

Теорема (критерий монотонности функции): Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a, b) функция f(x) была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие f ´(x) > 0 при всех х  (a, b).

Аналогично, условие f ´(x) < 0 при всех х  (a, b) является необходимым и достаточным для убывания дифференцируемой функции f (x) на интервале (a, b).

Доказательство:

Ограничимся доказательством теоремы для случая возрастающей функции.

1) Необходимость:

Пусть х₀ – произвольная точка интервала (a, b).

Из определения возрастающей функции следует, что для любого х  (a, b): x > x₀ выполняется неравенство f (x₀)  f (x); для любого х  (a, b): x < x₀ выполняется неравенство f (x₀) < f (x).

Следовательно, если х  (a, b) и x  x₀, то выполняется неравенство (f(x)-f(x₀))/(x-x₀)  0.

Так как левая часть этого неравенства имеет при х→x₀ предел, равный f ´(x₀), тогда по свойству сохранения знака нестрогого неравенства при предельном переходе получаем

f ´(x₀) > 0 для любого x₀  (a, b).

2) Достаточность:

Пусть f ´(x) > 0 при всех х  (a, b) и пусть x₁, x₂ – произвольные точки интервала (a, b), причем x₂ > x₁. Применяя к функции f (x) на отрезке [x₁, x₂] теорему Лагранжа, получаем

f (x₂) – f (x₁) = f ´(ξ)(x₂ - x₁)  0,

где ξ  [x₁, x₂], f ´(ξ)  0 и (x₂ - x₁) > 0. Отсюда следует, что для любых x₁, x₂  (a, b) таких, что x₂ > x₁, выполняется неравенство f (x₂)  f (x₁). Это означает, что функция f (x) является возрастающей на интервале (a, b).

Теорема (достаточное условие строгой монотонности функции на интервале): Если при всех х  (a, b) выполняется условие f ´(x) > 0, то функция f (x) строго возрастает на интервале (a, b). Если при всех х  (a, b) справедливо неравенство f ´(x) < 0, то функция f (x) строго убывает на интервале (a, b).

Доказательство:

Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда выполняется неравенство f ´(x)>0. Пусть x₁ и x₂ – произвольные точки интервала (a, b), такие, что x₂ > x₁.

По теореме Лагранжа f (x₂) – f (x₁) = f ´(ξ) (x₂ - x₁), где ξ  [x₁, x₂ ]  (a, b).

Отсюда и из условия f ´(x) > 0 при всех х  (a, b) следует, что f (x₂) > f (x₁). Это означает, что функция f (x) является строго возрастающей на интервале (a, b).

Замечание: Это условие не является необходимым. Например, функция f(x)=x³ строго возрастает на всей числовой прямой, но условие f ´(x) > 0 при всех х  R не выполняется, так как f ´(0) = 0.

Теорема (достаточное условие строгой монотонности функции на отрезке): Если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b) и при всех х  (a, b) выполняется условие f ´(x) > 0, то функция f (x) строго возрастает на отрезке [a, b], а если при всех х  (a, b) справедливо неравенство f ´(x) < 0, то функция f (x) строго убывает на отрезке [a, b].

Доказательство:

Будем говорить, что функция f (x) строго возрастает в точке x₀, если существует такое число  > 0, что при всех x (x₀  , x₀) выполняется неравенство f (x) < f (x₀), а при всех x (x₀, x₀ + ) выполняется неравенство f (x) > f (x₀).

Заметим, что это условие равносильно условию (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) > 0, где х  Ů_ (x₀).

Аналогично вводится понятие строгого убывания функции f (x) в точке x₀.

В этом случае (f(x)-f(x₀))/(x-x₀) < 0, где х  Ů _ ( x₀).

Теорема (достаточное условие строгой монотонности функции в точке): Если f ´(x₀) > 0,то функция f (x) строго возрастает в точке x₀, а если f ´(x₀) < 0, то функция f (x) строго убывает в точке x₀.