- •1. Производная, ее геометрический, механический, экономический смысл. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
- •2. Дифференцируемость функций. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
- •3. Правила дифференцирований. Производная суммы, произведения и частного.
- •4. Производные обратной, сложной, параметрически заданной функций. Производная функции, заданной неявно.
- •5. Производные основных элементарных функций. Таблица производных.
- •6. Дифференциал. Инвариантность формы дифференциала первого порядка. Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- •7. Производные и дифференциалы высших порядков.
- •8. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа.
- •9. Правило Лопиталя.
- •10. Формула Тейлора. Разложение элементарных функций по формуле Тейлора.
- •11. Необходимое и достаточное условие постоянства функции.
- •12. Монотонность функции. Достаточное условие строгой монотонности. Необходимое и достаточное условие монотонности.
- •13. Экстремум функции. Необходимое условие экстремума. Достаточные условия экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке.
- •14. Выпуклость функции. Достаточное условие выпуклости.
- •15. Точки перегиба. Необходимое условие точки перегиба. Достаточное условие точки перегиба.
- •16. Асимптоты графика функции.
- •17. Общая схема исследования функций и построения графиков.
- •18. Применение производной в экономической теории.
1. Производная, ее геометрический, механический, экономический смысл. Уравнение касательной и нормали к плоской кривой.
1) Задача о касательной (геометрический смысл производной).
Пусть на плоскости Оху дана непрерывная кривая y=f(x) и необходимо найти уравнение касательной к этой кривой в точке M0(x0, f(x0)).
Выберем на кривой у = f(х) точку М(х; f(х)), близкую к точке М0. Проведем секущую М0М.
Если М→М0 по кривой, то х→х0.
kсек = tgβ = MK/MK0 = (f(x)-f(x0))/(x-x0)
Касательной к кривой y= f(x) в точке М0 называется предельное положение секущей M0M при приближении точки M к точке М0, т.е. при х 0.
kкас = lim х→xо kсек = lim х→х0 (f(x)-f(x0))/(x-x0)
2) Задача о скорости движения (механический смысл производной).
S=t – закон прямолинейного равномерного движения.
Но на практике движение чаще всего неравномерное.
Пусть некоторая материальная точка М совершает неравномерное прямолинейное движение по прямой. Найдем скорость движения точки М в данный момент:
ср = (S(t)-S(t0))/(t-t0)
мгн = limt→tо (S(t)-S(t0))/(t-t0)
3) Задача о производительности труда (экономический смысл производной).
Пусть функция и = u(t) выражает количество произведенной продукции и за время t и необходимо найти производительность труда в момент t0.
zср = (u(t)-u(t0))/(t-t0)
zмгн = limt→tо (u(t)-u(t0))/(t-t0)
Пусть функция у = f(х) определена на промежутке X. Возьмем точку xХ. Дадим значению x приращение х 0, тогда функция получит приращение y = f(x+x) – f(x).
Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
y = lim Δx→0 y/x = lim Δx→0 (f(x+x) – f(x))/x
Т.к. предел в точке есть число, то производная в точке также есть число. В каждой точке промежутка будут получаться различные значения предела.
Производная на интервале есть функция.
Предел может и не существовать. Это значит, что функция в данной точке не имеет производную.
Если существует предел справа или предел слева, то это значит, что существуют односторонние производные справа или слева.
Из задачи о производительности труда следует, что производная объема произведенной продукции по времени u'(t0) есть производительность труда в момент t0.
Из задачи о скорости движения следует механический смысл производной: производная пути по времени s(t0) есть скорость точки в момент t0:
(t0)= s'(t0).
Из задачи о касательной вытекает геометрический смысл производной: производная f'(х0) есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона) касательной, проведенной к кривой y=f(x) в точке х0,т.е. k = f '(х0).
Тогда уравнение касательной к кривой y = f (x) в точке х0 примет вид
y – f(х0) = f'(х0)(x – x0)
или
y = f(х0) + f'(х0)(x – x0)
Условия перпендикулярности двух прямых.
Если прямые L1 и L2 перпендикулярны, то
2 = /2 + 1,
tg2 = tg(/2+1) = – ctg1 – 1/ tg1,
т.е.
k2 = – 1/k1
Таким образом, условие перпендикулярности двух прямых состоит в том, что их угловые коэффициенты обратны по величине и противоположны по знаку.
Тогда уравнение перпендикуляра к касательной (нормали) к кривой y = f(x) в точке х0 примет вид
y – f(х0) = – (x – x0)/f '(х0)