2 Необходимое и достаточное условие экстремума функции в точке

Определение Точка х₀ из D(f) называется точкой строгого локального максимума (минимума) функции f(х), если для всех х из некоторой  – окрестности U(х₀,) точки х₀, х  х₀, выполняется неравенство

f(х) < f(х₀) [f(х) > f(х₀)] (1)

Точки локального максимума и локального минимума называются точками локального экстремума.

Значения функций в этих точках называются соответственно локальным максимумом или локальным минимумом (локальными экстремумами функции).

Из определения следует, что понятие экстремума носит локальный характер в том смысле, что в случае экстремума неравенство (1) не обязательно выполняется для всех хD(f), а лишь в некоторой окрестности U(х₀,) точки х₀.

Т.о., функция может иметь несколько локальных максимумов (минимумов), причем может оказаться, что локальный максимум меньше, чем локальный минимум.

У ^{лок. max}

лок. max лок. min

лок. min

О х

Теорема 1 Необходимое условие существование экстремума Если функция определена в некоторой окрестности точки х₀ и имеет в ней локальный экстремум, тогда эта функция

1) либо дифференцируема в точке х₀ и ,

2) либо недифференцируема в точке х₀.

Пример В точке х₀= 0 функция недифференцирума, но имеет локальный минимум.

Замечание Условия теоремы 1 являются лишь необходимыми условиями существования экстремума.

Следствие Из теоремы 1 вытекает, что точки локального экстремума функции следует искать среди корней уравнения и точек, где производная не существует.

Точки, в которых производная не существует или равна нулю называются критическими точками первого рода или точками подозрительными на экстремум.

Точки, для которых выполняется условие , называются стационарными.

Пример 1. Для функции y1= х3 при х=0, но в этой точке данная функция экстремума не имеет.	у y1= х3 О х
2. Для функции производная не существует при х = 0, но в этой точке экстремума нет.	х

Достаточное условие существования экстремума

Теорема 2 Первое достаточное условие существования экстремума Пусть функция f(х) определена и непрерывна в некоторой  – окрестности U(х₀,) точки х₀ и дифференцируема в проколотой окрестности U(х₀,) точки х₀, тогда

1) если при х(х₀– ;0) и при х(х_0; х₀+), то функция f(х) имеет в точке х₀ локальный максимум.

+ –

х₀–  х₀ х₀+  х

2) если при х(х₀– , х₀) и при х(х₀, х₀+), то функция f(х) имеет в точке х₀ локальный минимум.

– +

х₀–  х₀ х₀+  х

3) если при хU(х₀,) или при хU(х₀,), то в точке х₀ функция f(х) не имеет локального экстремума.

+ +

х₀–  х₀ х₀+  х

– –

х₀–  х₀ х₀+  х

Следствие Правило отыскания экстремума функции:

1. Найти D(f) – область определения функции f(х).

2. Найти критические точки:

а) стационарные точки( где производная равна нулю);

б) точки, где функция f(х) недифференцируема.

3. Исследовать знак производной функции f(х) в окрестности каждой из этих точек, и сделать вывод о существовании экстремума.

Замечание Результаты исследования целесообразно оформлять в виде таблицы.

Пример Исследовать на монотонность и экстремум функцию у = х ⁴ – 2 х ² +1.

1) D(f) = R. 2) , .

3)

х	(-;-1)	-1	(-1;0)	0	(0;1)	1	(1;+)
	–	0	+	0	–	0	+
f(х)		0		1		0

лок.min лок.max лок.min

Пример Исследовать на монотонность и экстремум функцию .

1) D(f)=R. 2) .

Ни при каких значениях переменной х производная не равна нулю, следовательно стационарных точек нет. При х = 0, производная не существует, но х=0D(f), следовательно х = 0 – критическая точка.

х	(-;0)	0	(0;+)
	–	не существует	+
f(х)		0 лок.min

у

О х

Теорема 3 Второе достаточное условие существование экстремума. Пусть функция f(х) определена и дифференцируема в некоторой окрестности точки х₀ и , тогда, если f(х) имеет в точке х₀ вторую производную отличную, от нуля, то f(х) имеет в точке х₀

1. локальный минимум, если ; 2. локальный максимум, если .

Замечание Второй достаточный признак существования экстремума имеет более узкий круг применения. Его нельзя использовать для определения существования экстремума функции в тех точках, где функция не имеет второй производной или .

Следствие Правило отыскания экстремума функций, для которых выполняются условия теоремы 3:

1. Найти область определения функции D(f).

2. Найти стационарные точки.

3. Вычислить для стационарных точек.

4. Для стационарных точек определить знак второй производной и сделать вывод о характере локального экстремума.

Пример Исследовать на экстремум функцию .

1) D(f)=R. 2) при х = 1, следовательно х = 1 – стационарная точка.

3) .

4) <0, следовательно точка х =1 является точкой максимума .