Задачи для самостоятельного решения

1 Имеется тело произвольной формы. Выберем точку на некоторой оси . Мысленно разобьем тело на элементарные объемы с массами и проведем векторы из точки в точки, где находятся элементарные массы (рисунок 12). По какой из приведенных формул можно вычислить момент инерции тела относительно оси : а) ; б) ; в) ?

Рисунок 12 – Рисунок к задаче 1

2 Найти моменты инерции однородного диска массы и радиуса относительно осей, проходящих через точки и перпендикулярно его плоскости (рисунок 13).

Рисунок 13 – Рисунок к задаче 2

3 Найти момент инерции диска массы и радиуса относительно оси, лежащей в плоскости диска и совпадающей с его диаметром.

4 Пустотелый цилиндр с очень тонкими стенками имеет массу и радиус . Найти его моменты инерции относительно осей и (рисунок 14).

Рисунок 14 – Рисунок к задаче 4

5 Моменты инерции тела относительно трех осей, проходящих через точки и перпендикулярных плоскости рисунка, равны между собой. Точки и не лежат на одной прямой (рисунок 15). Найти геометрическим построением положение оси, проходящей через центр масс и параллельной указанным осям.

Рисунок 15 – Рисунок к задаче 5

6 Две частицы (материальные точки) с массами m₁ и m₂ соединены жестким невесомым стержнем длины l. Найти момент инерции I этой системы относительно перпендикулярной к стержню оси, проходящей через центр масс.

Ответ: I=μl², где μ=m₁m₂/(m₁+m₂) – приведенная масса частиц.

7 Найти: а) моменты инерции прямоугольной пластинки относительно оси (рисунок 16); б) тонкой однородной прямоугольной пластинки относительно оси z (рисунок 16), проходящей через одну из вершин пластинки перпендикулярно к ее плоскости, если стороны пластинки равны и , а ее масса - . Известны масса пластинки , ее размеры и .

Рисунок 16 – Рисунок к задаче 7

8 Найти момент инерции шарового слоя малой толщины , где - средний радиус слоя. Масса шарового слоя равна .

9 Найти момент инерции тонкого однородного стержня относительно оси, перпендикулярной к стержню и проходящей через его конец, если масса стержня и его длина .

Ответ: .

6. 

6. 

6. 

6. 

10 Найти момент инерции тонкого проволочного кольца радиусом R и массы т относительно оси, совпадающей с его диаметром.

Ответ: .

11 Тонкая однородная пластинка массы имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. Найти ее момент инерции относительно оси, совпадающей с одним из катетов, длина которого .

Ответ: г·м².

12 Вычислить момент инерции: а) медного однородного диска относительно оси симметрии, перпендикулярной к плоскости диска, если его толщина и радиус ; б) однородного сплошного конуса относительно его оси симметрии, если масса конуса т и радиус его основания .

Ответ: а) ; б) .

13 Однородный диск радиуса R имеет круглый вырез (рисунок 17). Масса оставшейся (заштрихованной) части диска равна т. Найти момент инерции такого диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей: а) через точку ; б) через его центр масс.

Ответ: а) ; б) .

Рисунок 17 – Рисунок к задаче 13

14 Исходя из формулы для момента инерции однородного шара, найти момент инерции тонкого сферического слоя массы т и радиуса R относительно оси, проходящей через его центр.

Ответ: .

15 Определить момент инерции полого шара массы m относительно оси, проходящей через центр тяжести. Внешний радиус шара , внутренний -.

16 Найти момент инерции I однородного круглого прямого цилиндра массы т и радиуса R относительно оси цилиндра.

Ответ: I=½mR².

17 Найти момент инерции I однородного куба относительно оси, проходящей через центры противолежащих граней. Масса куба m, длина ребра а.

Ответ: I=¹/₆ma².

18 Найти момент инерции однородной пирамиды, основанием которой служит квадрат со стороной а, относительно оси, проходящей через вершину и центр основания. Масса пирамида равна m.

Ответ: I=¹/₁₀ma².

19 Поверхностная плотность тонкого диска радиуса изменяется по закону . Найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно егo плоскости.

Ответ: .

20 К точке с радиус-вектором приложена сила , а к точке с - сила . Здесь оба радиус-вектора определены относительно начала координат , и - орты осей х и у, А и В - постоянные. Найти плечо равнодействующей силы относительно точки .

Ответ: .

21 Снаряд массы m начинает движение со скоростью v₀, направленной пол углом α к горизонту. Найти зависимость момента силы тяжести снаряда относительно точки выстрела от времени. Определить эту величину для моментов нахождения снаряда в высшей и наиболее удаленной точке траектории.

Ответ: ; ; .

22 Сила с компонентами (3,4,5)(Н) приложена к точке с координатами (4,2,3,)(м). Найти: а) момент силы относительно начала координат; б) модуль вектора , в) момент силы относительно оси z.

Ответ: а) (Н·м); б) Н·м; в) Н·м.

23 Сила, приложенная к частице, имеет вид (Н). Чему равен момент этой силы относительно оси z, если точка приложения силы имеет координаты (4,2; 6,8; 0) (м).

Ответ: Н∙м.

24 К точке, радиус-вектор которой относительно начала координат равен приложена сила . Найти момент силы и плечо силы относительно начала координат.

Ответ: , .

25 Частица, положение которой относительно начала отсчёта декартовой системы координат (точка О) даётся радиус-вектором (-2,1,-5)(м), имеет импульс (1,2,3)(кг·м/с). Определить: а) момент импульса частицы относительно точки О; б) моменты импульса L_x, L_y и L_z относительно осей x,y,z.

Ответ: а) (кг·м²/с); б) L_x=13 кг·м²/с, L_y=1 кг·м²/с, L_z=-5 кг·м²/с.

26 Тело массы m брошено из точки с координатами (0,2,0)(м) вверх по вертикали с начальной скоростью 10м/с. Найти приращение момента импульса Δ относительно начала координат за всё время полёта тела. Ось z направлена вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: Δ(-40,0,0) (кг·м²/с).

27 Тело массы m брошено с начальной скоростью , образующей угол α с горизонтом. Приняв плоскость, в которой движется тело, за плоскость xy и направив ось y вверх, а ось х – по направлению движения, найти вектор момента импульса тела относительно точки бросания в момент, когда тело находится в верхней точке траектории. Сопротивлением воздуха пренебречь.

Ответ: .

28 Момент импульса частицы относительно некоторой точки А зависит от времени по закону . Найти относительно точки А момент силы , действующий на частицу. Чему равен момент силы, когда угол между и равен 60°?

29 Диск насажен на неподвижную ось. К одной и той же точке диска

прикладывают одну из сил , или . Соотношение модулей сил указано на рисунке 18. Под действием какой из сил угловое ускорение будет наибольшим?

30 Математический маятник массы m, длины l колеблется в вертикальной плоскости. Максимальное отклонение от положения равновесия равно l₀ . Как изменяется момент силы тяжести маятника относительно точки подвеса в процессе движения? Нарисовать график зависимости момента силы тяжести маятника относительно точки подвеса от величины угла α.

Рисунок 18 – Рисунок к задаче 29

31 К однородному стержню массы и длины приложены две силы и (рисунок 19). Найти ускорение точки и угловое ускорение стержня. Как изменится ответ, если силу приложить к точке ?

Рисунок 19 – Рисунок к задаче 31

32 Тело произвольной формы вращается вокруг оси OO с угловой скоростью ω. Доказать, что угловая скорость вращения тела вокруг любой другой оси O'O' параллельной оси OO, также равна ω.

33 Обруч массы и радиуса вращается с угловой скоростью вокруг неподвижной оси , проходящей через центр обруча (точка ) перпендикулярно его плоскости. Найти момент импульса обруча: а) относительно точки ; б) относительно точки , лежащей на оси вращения.

34 Точка 1 тела, вручающегося с угловой скоростью , имеет в некоторый момент времени скорость . Найти для того же момента времени скорость точки 2, смещенной относительно точки 1 на .

Ответ: +.

35 Однородный шар массы движется поступательно по поверхности стола под действием постоянной силы , приложенной, как показано на рисунке 20, где угол . Коэффициент трения между шаром и столом . Найти F и ускорение шара.

Ответ: F= а=.

Рисунок 20 – Рисунок к задаче 35

36 На ступенчатый блок (рисунок 21) намотаны в противоположных направлениях две нити. На конец одной нити действуют постоянной силой , а к концу другой нити прикреплен груз массы т. Известны радиусы и блока и его момент инерции относительно оси вращения. Трения нет. Найти угловое ускорение блока.

Ответ: , где ось z направлена за плоскость рисунка 21.

Рисунок 21 – Рисунок к задаче 36

37 На однородный сплошной цилиндр массы и радиуса R плотно намотана легкая нить, к концу которой прикреплен груз массы т (рисунок 22). В момент система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени: а) модуля угловой скорости цилиндра; б) кинетической энергии всей системы.

Ответ: а) ; б) .

Рисунок 22 – Рисунок к задаче 37

38 Горизонтальный тонкий однородный стержень массы т и длины может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через его конец . В некоторый момент на конец начала действовать постоянная сила , которая все время перпендикулярна к первоначальному положению покоившегося стержня и направлена в горизонтальной плоскости. Найти угловую скорость стержня как функцию его угла поворота из начального положения.

Ответ: .

39 В установке, показанной на рисунке 23, известны масса однородного сплошного цилиндра т, его радиус и массы тел и . Скольжения нити и трения в оси цилиндра нет. Найти угловое ускорение цилиндра и отношение натяжений вертикальных участков нити в процессе движения. Убедиться, что при .

Рисунок 23 – Рисунок к задаче 39

Ответ: , .

40 В системе, показанной на рисунке 24, известны массы тел и , коэффициент трения между телом и горизонтальной плоскостью, а также масса блока т, который можно считать однородным диском. Скольжения нити по блоку нет. В момент тело начинает опускаться. Пренебрегая массой нити и трением в оси блока, найти: а) ускорение тела ; б) работу силы трения, действующей на тело за первые t секунд после начала движения.

Рисунок 24 – Рисунок к задаче 40

Ответ: а) ; б) .

41 Однородный диск радиуса R раскрутили до угловой скорости и осторожно положили на горизонтальную поверхность. Сколько времени диск будет вращаться на поверхности, если коэффициент трения равен ?

Ответ: .

42 Маховик с начальной угловой скоростью начинает тормозиться силами, момент которых относительно его оси пропорционален квадратному корню из его угловой скорости. Найти среднюю угловую скорость маховика за все время торможения.

Ответ: .

43 Горизонтально расположенный однородный стержень массы и длины вращается свободно вокруг неподвижной вертикальной оси , проходящей через его конец . Точка находится посередине оси , длина которой . При каком значении угловой скорости стержня горизонтальная составляющая силы, действующей на нижний конец оси , будет равна нулю? Какова при этом горизонтальная составляющая силы, действующей на верхний конец оси?

Ответ: ; .

44 Однородный цилиндр массы и радиуса (рисунок 26) в момент начинает опускаться под действием силы тяжести. Пренебрегая массой нитей, найти: а) угловое ускорение цилиндра; б) зависимость от времени мгновенной мощности, которую развивает сила тяжести.

Рисунок 25 – Рисунок к задаче 44

Ответ: а) ; б) .

45 Тонкие нити намотаны на концах однородного сплошного цилиндра массы т. Свободные концы нитей прикреплены к потолку кабины лифта. Кабина начала подниматься с ускорением . Найти ускорение цилиндра относительно кабины и силу , с которой цилиндр действует (через нити) на потолок.

Ответ: , .

46 На гладкой наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом, находится катушка с ниткой, свободный конец которой укреплен, как показано на рисунке 26. Масса катушки , ее момент инерции относительно собственной оси , радиус намотанного слоя ниток . Найти ускорение оси катушки.

Ответ: а=.

Рисунок 26 – Рисунок к задаче 46

47 Однородный сплошной цилиндр массы т лежит на двух горизонтальных брусьях. На цилиндр намотана нить, за свешивающийся конец которой тянут с постоянной вертикально направленной силой (рисунок 27). Найти значения силы , при которых цилиндр будет катиться без скольжения, если коэффициент трения равен .

Рисунок 27 – Рисунок к задаче 47

Ответ: .

48 Система, состоящая из цилиндрического катка радиуса R и гири, связанных нитью, перекинутой через блок (рисунок 28) под действием силы тяжести приходит в движение из состояния покоя. Определить ускорение центра масс катка и силу натяжения нити. Какую скорость приобретет гиря, если она опускается с высоты h? Масса цилиндра М, масса гири, массой блока пренебречь. Каток катится без скольжения

Рисунок 28 – Рисунок к задаче 48

49 На горизонтальной шероховатой плоскости лежит катушка ниток массы т. Ее момент инерции относительно собственной оси , где - числовой коэффициент, - внешний радиус катушки. Радиус намотанного слоя ниток равен . Катушку без скольжения начали тянуть за нить постоянной силой , направленной под углом к горизонту (рисунок 29). Найти: а) проекцию на ось ускорения оси катушки; б) работу силы за первые секунд движения.

Рисунок 29 – Рисунок к задаче 49

Ответ: а) ; б) .

50 Система (рисунок 30) состоит из двух одинаковых однородных цилиндров, на которые симметрично намотаны две легкие нити. Найти ускорение оси нижнего цилиндра в процессе движения. Трения в оси верхнего цилиндра нет. Ответ: .

Рисунок 30 – Рисунок к задаче 50

51 В системе, показанной на рисунке 31, известны масса т груза , масса ступенчатого блока , момент инерции последнего относительно его оси и

радиусы ступеней блока R и 2R. Масса нитей пренебрежимо мала. Найти ускорение груза .

Рисунок 31 – Рисунок к задаче 51

Ответ: .

52 Сплошной однородный цилиндр массы может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, которая укреплена на подставке массы (рисунок 32). На цилиндр плотно намотана легкая нить, к концу которой приложили постоянную горизонтальную силу . Трения между подставкой и опорной горизонтальной плоскостью нет. Найти: а) ускорение точки ; б) кинетическую энергию этой системы через секунд после начала движения.

Рисунок 32 – Рисунок к задаче 52

Ответ: а) ; б) .

53 На гладкой горизонтальной плоскости лежит доска массы и на ней однородный шар массы . К доске приложили постоянную горизонтальную силу . С какими ускорениями будут двигаться доска и центр шара в отсутствие скольжения между ними?

Ответ: ; .

54 Сплошному однородному цилиндру массы т и радиуса R сообщили вращение вокруг его оси с угловой скоростью , затем его положили боковой поверхностью на горизонтальную плоскость и предоставили самому себе. Коэффициент трения между цилиндром и плоскостью равен . Найти: а) время, в течение которого движение цилиндра будет происходить со скольжением; б) полную работу силы трения скольжения.

Ответ: а) ; б) .

55 Однородный шар радиуса скатывается без скольжения с вершины сферы радиуса . Найти угловую скорость шара после отрыва от сферы. Начальная

скорость шара пренебрежимо мала.

Ответ: .

56 Сплошной однородный цилиндр радиуса R катится по горизонтальной плоскости, которая переходит в наклонную плоскость, составляющую угол с горизонтом (под уклон). Найти максимальное значение скорости цилиндра, при котором он перейдет на наклонную плоскость еще без скачка. Считать, что скольжения нет.

Ответ: .

57 Однородный шар массы и радиуса катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Вследствие деформаций в месте соприкосновения шара и плоскости на шар при движении вправо действует равнодействующая сил реакции, как показано на рисунке 33. Найти модуль момента силы относительно центра шара, если шар, имевший в некоторый момент скорость , прошел после этого до остановки путь . Момент силы считать постоянным.

Рисунок 33 – Рисунок к задаче 57

Ответ: мН·м.

58 Однородный шар скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти ускорение центра шара и значение коэффициента трения, при котором скольжения не будет.

Ответ: .

59 Однородный шар массы скатывается без скольжения по наклонной плоскости, составляющей угол с горизонтом. Найти кинетическую энергию шара через время после начала движения.

Ответ: .

60 Какой путь пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона , если ему сообщена начальная скорость , параллельная наклонной плоскости.

61 Горизонтальная платформа массой 25кг и радиусом 0,8м вращается с частотой 18мин^-1. В центре стоит человек и держит в расставленных руках гири. Считая платформу диском, определите частоту вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,5кг∙м² до 1кг∙м².

Ответ: 23 мин ^-1.

62 Человек массой 60кг, стоящий на краю горизонтальной платформы массой 120кг, вращающейся по инерции вокруг неподвижной вертикальной оси с частотой 10мин^-1, переходит к ее центру (рисунок 34). Считая платформу круглым однородным диском, а человека — точечной массой, определите, с какой частотой будет тогда вращаться платформа.

Ответ: .

Рисунок 34 – Рисунок к задаче 62