3.2. Потенциальное и вихревое движения жидкости

Если при движении в потоке частицы жидкости не вращаются, то такое движение является потенциальным.

Условия потенциального течения имеют вид:

1. , где – характеризует интенсивность вихревого поля в каждой его точке.

2. Угловые скорости

3. Для потенциального течения имеем:

Три последних условия являются необходимыми и достаточными, чтобы существовала функция , называемая потенциальной, полный дифференциал которой равен: .

Представляя полный дифференциал функции как

,

получаем

Доказано, что распределение поля скоростей описывается уравнением Лапласа:

.

Для плоских течений, если выполняется условие

,

то существует функция – функция тока, для которой выполняется Учитывая, что полный дифференциал , следовательно,

.

Течение будет вихревым, если частицы в потоке жидкости вращаются, т.е.

.

Совокупность векторов угловых скоростей в различных точках потока образуют векторное поле – поле угловых скоростей. Это векторное поле может быть как стационарным, так и нестационарным. Вихревое течение характеризуется вихревыми линиями. Линия, касательная к которой в каждой точке в данный момент времени определяет направление вектора угловой скорости , называется вихревой линией. Совокупность вихревых линий, пронизывающих элементарный контур , образует вихревую трубку или вихревую нить.

Вихревые трубки (нити) характеризуются интенсивностью (), для которой справедливо

.

Чтобы рассчитать интенсивность вихревого течения пользуются теоремой Стокса: циркуляция вектора по замкнутому контуру равна интенсивности вихревого течения

.

При этом интенсивность вихревого течения не зависит от размеров и формы контура, а зависит от размера вихревой зоны.

3.3. Установившееся и неустановившееся течения жидкости

При неустановившемся течении скорость и давление в каждой точке пространства изменяется с течением времени, т. е. .

При установившемся (стационарном) течении скорость в каждой точке пространства в различные моменты времени не меняет своей величины и направления, поэтому . Поэтому в случае установившегося течения

.

При установившемся течении траектории движения частиц, проходящие через одну и ту же точку пространства, совпадают друг с другом и не меняют своей формы с течением времени.

Установившееся движение может быть равномерным и неравно­мер­ным.

Равномерным движением называется такое движение, при котором ско­рости в сходственных точках двух смежных сечений равны между собой, а траектории частиц – прямолинейны и параллельны оси ох, т.е. поле скоростей не изменяется вниз по течению. Ускорение частиц жидкости при этом равно нулю.

Неравномерное движение – это движение, не удовлетворяющее опре­де­лению равномерного движения.

Равномерное и неравномерное движение может быть напорным и безнапорным. При напорном движении жидкость соприкасается с твердой стен­кой по всему периметру своего сечения, а при безнапор- ном – лишь по части периметра.

Таким образом:

1. Когда скорость в отдельных точках пространства изменяется относительно медленно, поэтому величинами , , можно пренебречь.

2. Когда скорость в отдельных точках пространства изменяется относительно быстро, тогда эти ускорения учитывать необходимо.