Поиск изображения по графику оригинала
Пр.9 По данному графику оригинала найти изображение.
Построим аналитическое выражение для данной функции,
на основе общего уравнения прямой, проходящей через
две
точки (t1,
y1)
, (t2,
y2)
=
( 5 )
и
свойств единичной функции
(t
- а) =
(t)
(t)
-
(t
- а)
Решение.
Функцию на интервале [0 , a]
описывает разность двух единичных
функций
(t)
-
(t
- а) . Первую наклонную определим из ( 5
) по точкам (2а,
0), (а,
1): y
=-
(t
– 2a).
Для перехода от бесконечной прямой к
отрезку на интервале [a,
3a]
умножим уравнение на разность
(t
-а) -
(t
-3а)
Вторую наклонную определим из ( 5 ) по
точкам (4а,0)
, (3а,-1):
y
=
(t
– 4a),
и умножим уравнение на
(t
- 3а).
Сумма этих трех выражений определит
аналитический вид функции
f(t)
=
(t)
-
(t
- а) -
(t
– 2a)
[
(t
- а) -
(t
- 3а)]
+
(t
– 4a)
[
(t
- 3а)]
Представим
f(t)
в виде суммы слагаемых двух типов
(t
- b)
и (t
– b)
(t
- b)
f(t)
=
(t)
-
(t
- а) -
(t
– a)
(t
- а) +
(t
- а) +
(t
– 3a)
(t
- 3а)
+
(t
- 3а)+
+
(t
– 3a)
(t
- 3а)
-
(t
- 3а)
=
(t)
-
(t
– a)
(t
- а)
+
(t
–
3a)
(t
- 3а)
С помощью соотношений Пр.8 совершим переход к искомому изображению
F(t)
=:
-
+
.
Таблица изображений
-
№
f(t) при t>0
F(p)
№
f(t) при t>0
F(p)
1
1
9
t cos at
2
10
t sin at
3
eat
11
4
cos at
12
5
sin at
13
6
ezt cos at
14
7
ezt sin at
15
8
eat
16
Отыскание оригинала по изображению
Если
изображение является дробно-рациональной
функцией F(p)
=
и m
< n
,
то многочлен
знаменателя представим в виде произ-ведения
линейных множителей
=
.
Корни
многочлена pi
могут
быть
действительными числами, комплексными
числами и кратными. Комплексные корни
входят сопряженными парами и приводят
к трехчленам типа ( p2
+
p
+
).
В результате F(p)
представ-ляется в виде суммы
элементарных
дробей типа
,
(метод неопределенных коэффициентов).
Комбинируя эти дроби, можно пытаться
построить изображения основных
элементарных функций и затем по таблице
восстановить оригинал.
Пр.
10 Найти оригинал функции F(p)
=
.
=
=
+ ½
=:
etcos
2t
+ ½ etsin
2t
Пр.
11 Найти оригинал функции F(p)
=
.
=
=
+
= =
p2 | A + B = 0
p1
| 2A – 2B + C = 0
A = 1/12 , B = -1/12 , C = - 1/3
p0 | 4A – 2C = 1
=
-
=
-
Из
формул
№ 3, 6, 7
оригинал
f(t)
=
e2t
-
e-t
(cos t
+
sin t
)
.
Если
в F(p)
только простые нули :
=
,
то разложение
изображения упрощается
F(p)
=
, где
( 6 )
Пр.12
Найти оригинал функции F(p)
=
Вычисляем
производную от знаменателя
= [ p(p
– 1)(p
– 2)(p
– 3) ]` =
= (p – 1)(p – 2)(p – 3) + p(p – 2)(p – 3) + p(p – 1)(p – 3) + p(p – 1)(p – 2),
находим её значения в нулевых точках v4`(0) = - 6 , v4`(1) = 2 , v4`(2) = - 2 , v4`(3) = 6 , определяем коэффициенты A0 = - 1/6 , A1 = 1, A2 = - 3/2, A3 = 2/3
и по формуле ( 6 ) расписываем разложение изображения на простые дроби
F(p)
=
=:
+
-
+
.
Если F(p) разлагается в сходящийся ряд
F(p)
=
+
+
+ . . . +
+ . . . ,
то его оригинал находится по формуле
f(t)
=
+
+
+ . . . +
+ . . .
Этот ряд сходится при всех значениях t .
Пр.13
Найти оригинал функции F(p)
=
.
Используем формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии
=
=
-
+
- . . . Этот ряд сходится при |p|
> 1
По
формуле № 2 получаем оригинал f(t)
=
-
+
-
+ . . .