Б4. Рента с периодом больше года
В этом случае член ренты, равный Rr, выплачивается через каждые r лет (r > 1). Проценты начисляются по ставке jm, т.е. т раз в год через равные промежутки времени начисляются jm/m%. На оси времени эта рента изображается также, как в случае A3. Найдём наращенную к моменту n сумму этой ренты. Последний платёж входит в наращенную сумму без изме-нения, т.е. в размере Rr. Предпоследний платёж сделан за rлет до момента п и каждый год на него начисляются сложные проценты т раз по jт/т%, т. е. в момент п наращенная на этот платёж сумма будет, согласно формуле (3.2), равна Rr{1 + jm/m)mr - Второй от конца платёж сделан за 2r лет до момента n, т. е. в момент п наращенная на этот платёж сумма равна Rr(l+jm/m)2mr. Первый платёж сделан за n-r лет до момента n, т. е. в момент n наращенная на этот платёж сумма равна Rr(1 + jm/m)m(n-r). Вся наращенная сумма ренты, равна: S= Rr+Rr×(1+jm/m)mr + Rr×(1+jm/m)2mr + …..+ Rr×(1+jm/m)m(n-r) Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b1 = Rr, знаменателем q= (1+ jm/m)mr и числом членов к = п/r. Находим эту сумму:
S= b1( q k -1)\( q-1) = Rr(((1+jm\m)mr) n\r- 1)\ ((1+jm\m)mr) - 1) = =((1+jm\m)mn- 1)\ ((1+jm\m)m r) - 1)
и применив формулу (5.1), получим
|
|
|
(5.11) |
Для вычисления наращенной суммы по формуле (5.11) можно использовать Таблицу 2.
В. Ренты с непрерывным начислением процентов. Годовая рента
В этом случае сумма Rвыплачивается один раз в конце каждого года и на выплаченную сумму начисляются непре-рывные проценты по ставке (силе роста) δ. Найдём наращен-ную в момент п сумму этой ренты. Графическое изображение этой ренты такое же, как в п. 5.2. Последний платёж входит в наращенную в момент n сумму без изменения. Сумма, наращенная в момент п на предпоследний платёж, согласно формуле (3.5), равна Reδ. Сумма, наращенная на второй от конца платёж по формуле (3.5), равна Re2δ. Сумма, наращенная в момент п на первый платёж по формуле (3.5), равна Rе(n-1)δ.Наращенная сумма всей ренты равна
S= R + Reδ + Re2δ +…..+ Reδ(n-2) + Reδ(n-1)
Слагаемые
этой суммы являются членами геометрической
прогрессии с первым членом b1 = R,
знаменателем
q
=eδ числом
членов к
= п. По
формуле суммы А: первых члено неметрической
прогрессии получаем
S= b1( q k
-1)\( q-1) =
S=
R(eδn-
1) \ (eδ-
1)
В2. р-срочная рента
В этой ренте p раз в год выплачивается сумма R/pи в конце года на все платежи начисляются непрерывные проценты по ставке δ. Графическое изображение этой ренты такое же, как и в случае А2. Рассуждая так же, как в А2 с заменой множителя (1 + i)l/p на eδ/pполучим наращенную сумму ренты:
S= R\p + R\p eδ\p + R\p e 2δ\p+ R\p eδ(np-1)\ p
Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии с первым членом b1 = R/p, знаменателем q = eδ/p и числом членов к = пр. По формуле суммы первых А: членов геометрической прогрессии получаем
S=
b1( q k -1)\( q-1) = R\p ((eδ\p)
np-
1)\ (eδ\p-
1)=
S=
R\p(eδ
n-
1)\ (eδ\p-
1)
Приведём примеры применения рассмотренных типов рент.
|
|
Пример 5. Для создания благотворительного фонда еже годно выделяется по 100 тыс. руб., которые вкладываются в банк, начисляющий сложные проценты по годовой ставке 12%. ' Определим сумму, накопленную в фонде через 6 лет, если а) взносы в фонд делаются в конце года, проценты начисляются по кварталам; б) равные взносы делаются в конце каждом квартала, проценты начисляются по полугодиям; в) взносы делаются в конце каждого года, проценты начисляются не-прерывно; г) равные взносы делаются ежемесячно, проценты начисляются непрерывно. Решение, а) Взносы образуют годовую ренту с начислени-ем процентов по ставке j4 = 12%. Наращенную сумму опреде-ляем по формуле (4.8), где m= 4, n = 6, jm/m= 12%/4 = 3%: S= R(s mn; jm\m \ s m; jm\m ) = 100000(s 24 ; 3 % \ s 4 ;3 % ) По Таблице 2 находим s 24 ; 3 % = 34.42647022; s 4 ;.3 % = 4.183627000 тогда S= 100000 (34.42647022 \ 4.183627000) = 822885.74 руб. б) Взносы образуют р-срочную ренту с начислением про центов по ставке j2= 12%. Наращенную сумму вычисляем m формуле (4.9), где m = 2, п = 6 S=( R\p )×( s mn; jm\m \ s m\p; jm\m )= (100000 /4 ) ×(s 12 ; 6% /s 0.5; 6 %) В наших таблицах нет требуемых значений коэффициента sn,i, поэтому вычисляем их значения по формуле (5.1): s 12 ; 6% = ((1 +0.06) 12 – 1) / 0.06 = 16.8699412 s 0.5; 6 % = ((1 +0.06) 5– 1) /0.06 = 0.4927169 тогда S= 100000/4 ×16.8699412/ 0.4927169 = 855965.22 руб. В этом случае взносы образуют годовую ренту с непре- рывным начислением процентов с силой роста δ=0.12. На ращенную сумму вычисляем по формуле (4.12) при δ = 0.12, п = 6: S= R (eδn- 1) \ (eδ- 1) = 100000 (e0.12 × 6- 1) \ (e0.12- 1)=827 026.86 руб. г) В этом случае взносы образуют р-срочную ренту с не прерывным начислением процентов с силой роста δ=0.12. Наращенную сумму вычисляем по формуле (4.13) при δ = 0.12, n = 6, р = 12: S= R(eδn- 1) \ p (eδ\p- 1) = 100000 (e0.12 * 6- 1) \12 (e0.12 \ 12- 1) = 874308.20 руб
|
|
|
|
|
|
|
Пример 6. Какую сумму надо выделять ежегодно для со-здания благотворительного фонда из предыдущего примера, чтобы за 6 лет накопить 1 млн. руб. в каждом из случаев, описанных в этом примере. Решение, а) Из формулы (4.8) определяем значение Rпри 5 = 1000000: S = 1000000(s 4 ; 3 % / s 24; 3% ) = 100000 (4.183627 / 34.42647022) = =121523.55 руб б) Из формулы (4.9) находим R, если 5 = 1000 000, р = 4 R = 1000000 * 4 (s 0.5; 6 % \ s 12 ; 6%) = 4000000× (0.4927169 / 16.8699412) = 116827.18 руб в) Из формулы (4.12) находим R, если S = 1000000, p =12 R = 1000000 (e0.12- 1) \ (e0.72- 1) = =1000000×(0.127496851/1.05443321)= = 120915.06 руб г) Из формулы (4.13) находим R, если 5=1000000, р = 12, R = 1000000 *12 (e0.01- 1) \ (e0.72- 1) = = 1000000× 12* ( 0.010050167/ 1.05443321) = 114376.14 руб. |
|
|
|
|
|
|
Пример 7. Господин Перов кладёт в банк в конце каждых двух лет 10 тыс. руб. Какая сумма будет на счету господина Перова через 10 лет, если а) на деньги начисляются сложные проценты по ставке j4 = 12%, б) банк выплачивает непрерывные проценты с силой роста 6 = 12%? Решение, а) В этом случае наращенную сумму находим по формуле (4.11) при r = 2, m = 4, n = 10, jm/m= 12%/4 = 3%: S= Rr ×(s mn; jm\m \ s mr; jm\m ) = 10000× (s 40; 3%\ s 8; 3% ) По Таблице 2 находим s 40; 3% = 75.40125973 ; s 8; 3% = 8.892336046; тогда S= 10000× (75.40125973 \ 8.892336046) б) В этом случае наращенную сумму находим по формуле (4.14) при δ = 12% = 0.12, п =10, r = 2: S= Rr (eδn- 1) \ (eδ- 1) =10000 (e1.2- 1) \ (e0.24- 1) = 85534.53 руб. |
|
|
|
|
