5. Финансовые ренты

5.1. Поток денежных платежей

В финансовой деятельности нередко делается несколько следующих друг за другом платежей — поток денежных  пла тежей. Таковы, например, ежегодные выплаты процентов по облигациям, периодические вклады в банк для образования страхового фонда, ежемесячные выплаты долга по потре-бительскому кредиту, получение ежемесячной стипендии от благотворительного фонда и тому подобные платежи. При всех таких платежах происходит начисление процентов на на-ходящиеся в обороте деньги. При изучении потока платежей могут возникнуть две основные задачи: найти наращенную сумму потока платежей или, напротив, по наращенной сумме определить величину отдельного платежа. Для частного вида потока платежей — финансовых рент — разработаны мтематические методы решения подобных задач. Эти методы рассмотрены ниже.

5.2. Финансовые ренты. Функция Sn,I

Финансовой рентой называется последовательность равных платежей, производящихся через равные промежутки времени. Рассмотрим общий случай: делается n платежей (напри мер, вкладов в банк), каждый из которых равен Rруб.; пpомежутки времени между платежами одинаковы, и в конце ка ждого из них на все сделанные до этого момента платежи на числяются сложные проценты по ставке i. Изобразим эту ренту на оси времени:

Выведем формулу, выражающую наращенную к моменту n сумму S этой ренты. Платёж, сделанный в момент n, входит в наращенную сумму без изменения, т. е. в размере R; сумма, наращенная к моменту п на платёж, сделанный в момент п — 1, равна R(l + i); сумма, наращенная к моменту п на платёж, сделанный в момент n—2, равна R(1+i)² и т.д.; сумма, наращенная к моменту n на платёж, сделанный в момент 2, равна R(1 + i)^n-2; сумма, наращенная к моменту n на платёж, сделанный в момент 1, равная R(1+i)^n-1 Наращенная сумма Sвсей ренты в момент п равна

             S= R + R( 1+i) +R( 1+i)² + ….+R(1+ i)^n-2 + R( 1+i) ^n-1

Слагаемые этой суммы являются членами геометрической прогрессии, первый член которой b1 = R, знаменатель q=1 +i и число членов равно n. Находим эту сумму по формуле суммы первых п членов геометрической прогресси 

S= (b1( q ⁿ -1))/( q-1) = R×(((1+i ) ^{n -1}) /(1+i -1) )=R× (((1+i) ⁿ -1)/i)

 Составлены таблицы значений функции

Sn;i=((1+i) n -1)\ i

(5.1)

                                                                                 Для разных значений п и i. Таблица значений этой функции приведена в Приложении Б (Таблица 2). Наращенная сумма финансовой ренты, рассмотренной выше, выражается формулой

S=Rsn;i

(5.2)

                                                                                                                                             

	Пример 1.   Господин Иванов вкладывает 1000 руб. в конце каждого месяца в банк, выплачивающий проценты по ставке j12 = 9%- Какую сумму он накопит за 2 года? Решение. Вклады в банк, которые делает господин Иванов, образуют финансовую ренту (далее — просто „ренту"), в которой R= 1000, п = 24 (2 года по 12 месяцев), r = 0.09/12 = 0.0075. Находим наращенную сумму этой ренты по формуле (5.2): S=1000*((1+0.00750)24 -1)/ 0.0075=1000s24; 0.75%                    По таблице 2 находим s24;o.75% = 26.18847059, следовательно, S=1000*26.18847059=26188.47 руб.