курсовая работа / ВАРИАНТ №50 / KR po TAU

Задание

1. Линейная система

1.1. Упростить систему

1.2 Посчитать устойчивость

1.3. Построить переходный процесс

1.4. Построить АЧХ

1.5. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ

2. Нелинейная система

2.1. Построить фазовый портрет

3. Дискретная система

3.1. Z–преобразование

3.2. ω–преобразование

3.3. λ–преобразование

3.4. Проверить систему на устойчивость

3.5. Построить переходный процесс

3.6. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ

Исходные данные

ВАРИАНТ №50

Рис. 1. Структурная схема системы

W₁(p) = 3,8

W₅(p) = 0,5

1. Расчет линейной системы.

1.1. Упрощение системы.

По правилу преобразования структурных схем получим передаточную функцию

разомкнутой системы

Разложим выражение (0,0008р² + 0,057р + 1) на две скобки, получим

(0,0008р² + 0,057р + 1) = 0,0008·(р + 40)(р + 31,25) =

Тогда после подстановки, передаточная функция разомкнутой системы примет следующий вид:

Рис. 2. Структурная схема системы после преобразований

Общая передаточная функция замкнутой системы с отрицательной обратной связью

После подстановки и преобразований передаточная функция замкнутой системы примет

следующий вид:

1.2. Проверка на устойчивость замкнутой системы.

1.2.1. По теореме устойчивости Ляпунова. Для того, чтобы автоматическая система,

описываемая линейными уравнениями с постоянными коэффициентами, была

устойчивой необходимо и достаточно, чтобы веществ. корни дифференциального

уравнения были отрицательными, а комплексные корни имели отрицательную

реальную часть.

Найдем корни характеристического уравнения с помощью Mathcad

Т.к. характеристическое уравнение системы имеет все корни с отрицательными вещественными частями, то данная система устойчивая.

1.2.2. По критерию устойчивости Гурвица. Для устойчивости системы необходимо и

достаточно, чтобы все диагональные миноры главного определителя, составленного

по коэффициентам характеристического уравнения, были больше нуля.

Раскроем скобки в характеристическом уравнении для того, чтобы определить его

коэффициенты.

1,6·10^–7·p⁶ + 2,98·10^–5·p ⁵ + 1,759·10^–3·p ⁴ + 4,147·10^–2·p ³ + 0,367·p ² + p + 0,1757728 = 0

Для составления главного определителя, выпишем коэффициенты

a₀ = 1,6·10^–7

a₁ = 2,98·10^–5

a ₂ = 1,759·10^–3

a ₃ = 4,147·10^–2

a ₄ = 0,367

a ₅ = 1

a ₆ = 0,1757728

Составим главный определитель.

Определим значения минора.

Δ₁ = a₁ = 2,98·10^–5 > 0

4,578·10^–8 > 0

1,558·10^–9 >0

5,004·10^–10 > 0

4,891·10^–10 > 0

8,597·10^–11 > 0

Т.к. все миноры определителя положительны, то система устойчива.

1.3. Построение переходного процесса.

Построим график переходного процесса замкнутой системы с помощью Mathcad

Рис. 3. График переходного процесса замкнутой системы

По графику переходного процесса определим прямые оценки качества:

1. Установившееся значение h_уст = 2, т.к. , тогда интервал отклонения в 5%

от установившегося значения будет соответствовать следующим величинам:

Δ₁ = h_уст – 0,025·h_уст = 1,95

Δ₂ = h_уст + 0,025·h_уст = 2,05

2. Время переходного процесса t_П = 20 (с)

3. Перерегулирование:

4. Период колебаний Т = ∞

5. Частота колебаний ω = 0 (рад/с)

6. Колебательность (число колебаний за время колебательного процесса) n = 0

7. Время нарастания регулируемой величины (время, за которое регулируемая величина

достигает максимального значения) t_H = 40 (c)

8. Время первого согласования (время, когда регулируемая величина достигает первый

раз своего установившегося значения) t₁ = 40 (c)

1.4. Построение амплитудно–частотной характеристики.

1. Запишем передаточную функцию разомкнутой системы:

2. Заменим в передаточной функции p на jω. После подстановки передаточная

функция примет следующий вид:

3. Запишем формулу для расчета АЧХ в Mathcad.

4. Строим амплитудно–частотную характеристику разомкнутой системы с поиощью

Mathcad.

Рис. 4. Амплитудно–частотная характеристика.

По графику амплитудно–частотной характеристики определим косвенные оценки

качества:

1. Максимальное значение амплитуды А_max = 0, т.к.

2. Резонансная частота (частота, при которой амплитуда максимальна) ω_Р = 0 (рад/с)

3. Частота среза ω_СР = 0,31 (рад/с)

1.5. Построение ЛАЧХ и ЛФЧХ.

1. Запишем передаточную функцию разомкнутой системы.

2. Заменим в передаточной функции p на jω. После подстановки передаточная

функция примет следующий вид:

3. Разобьем передаточную функцию на:

– вещественную часть

– мнимую часть

4. Записываем выражение для амплитудно–частотной A(), фазо–частотной () и

логарифмической амплитудно–частотной D() и фазо–частотной характеристик:

Построим графики частотных характеристик.

Рис. 5. Фазо–частотная характеристика.

Для построения ЛАЧХ системы, определим частоты излома:

Рис. 6. Логарифмическая амплитудно–частотная характеристика

Рис. 7. Логарифмическая фазо–частотная характеристика.

– по графику ЛФЧХ определим запас устойчивости по фазе γ = 28°

– по графику ЛАЧХ определим запас устойчивости по амплитуде m = 4 Дб.

3. Расчет дискретной системы.

3.1. Z–преобразование.

Рис. . Структурная схема непрерывно–дискретной системы

1. Передаточная функция линейной системы:

2. Передаточная функция дискретной системы

где Т – период дискретности системы

3.