Гармоническая линеаризация нелинейности. Расчёт ЗНСАУ частотно-амплитудным методом

Рассмотрим метод гармонической линеаризации.

Пусть на входе нелинейного элемента гармонический сигнал: x=A*sin(ωt) (6.1). На выходе получим:

y=A₀/2+( a_n*sin(nωt)+b_n*cos(nωt)),

где коэффициенты ряда Фурье:

a₁=F(A* sin(ψ))* sin(ψ)d ψ , b₁=F(A* sin(ψ))* cos(ψ)d ψ ,

где ψ= ωt.

Примем: g(A)=a₁/A и b(A)=b₁/A , тогда уравнение (6.2) :

y= g(A)*A* sin(ωt)+b(A)*A* cos(ωt)=g(A)*x+b(A)*

В области изображений:

передаточная функция гармонически линеаризованного нелинейного элемента.

W_рэ(A)=g(A)+jb(A) – частотная передаточная функция ГЛНЭ.

Вычислим коэффициенты для нелинейности - трехпозиционное реле с зоной нечувствительности и гистерезисом.

По формуле (6.1) при x=b, ωt=ψ₁; x=mb, ωt=ψ₂ :

sin(ψ₁)=b/A, sin(ψ₂)=mb/A ;

cos(ψ₁)= , cos(ψ₂)=

Определим наличие периодического режима частотно-амплитудным методом.

1) Гармоническая линеаризация нелинейного элемента:

W_рэ(A)=g(A)+jb(A)

2) Условие существования периодического режима.

W_p(A, jω)=W_НЭ(A)*W_лч(jω)= - 1 (6.3)

Где W_p(A, jω) – АФХ разомкнутой гармонически линеаризованной системы(РГЛС), т.е. используется критерий Найквиста: в замкнутой ГЛНС будет периодический режим, если АФХ РГЛС проходит через точку с координатой (-1;j0).

Уравнение (6.3) в иной форме:

W_лч(jω)= -1/ W_НЭ(A).

Строим АФХ линейной части и инверсную АФХ нелинейного элемента с обратным знаком с помощью программы MathCad.

W_нэ(A) =

Полученные графики W_лч(jω) и -1/Z _НЭ(A):

По графику видим, что нет точек пересечения, значит периодического режима нет.

Построим кривую W_лч(jω) пренебрегая произведением Т₁*Т_м.

По данному графику периодического режима тоже нет.

Влияние параметров ЛЧ и НЭ на процессы в ЗНСАУ. Рекомендации по стабилизации системы

Определим как влияет изменение параметров ЛЧ: k_лч , Т₁ ,Тм и НЭ: m, b, c на процессы в системе.

а) Оценка влияния параметров статической характеристики релейного усилителя

1) значение зоны нечувствительности mb .

При уменьшении m: например при m=0.0025, mb = 0.005 в системе -1/Z _НЭ(A) стремится пересечь W_лч(jω) но этого не происходит, периодический режим не возникает.

При увеличении m, график функции -1/Z _НЭ(A) пойдет в лево по мнимой оси. Например при m=0.5. Периодический режим не достигается.

2) значение b .

При уменьшении b, в системе график функции -1/Z _НЭ(A) стремится к началу координат но периодический режим не достигается. Пример b=0.00002

При увеличении b процесс в системе затухает с большей скоростью. Например при b=5, периодический режим не достигается.

3) значение c .

При увеличении c: в системе появляется периодический режим.

Например при с=3000.

При уменьшении с процесс в системе затухает с большей скоростью. График функции -1/Z _НЭ(A) начинает отдалятся от графика функции W_лч(jω).

Например при с=10.

б) Оценка влияния параметров линейной части.

1) Общий коэффициент усиления линейной части k_лч.

При увеличении k_лч в системе появляется периодический режим, например при k_лч=1:

2) Значения электромеханической постоянной времени двигателя Т_м и постоянной времени линейного усилителя Т₁.

При увеличении суммы T₁+T_м в системе появляется периодический режим, например при значении T₁+T_м=1:

ВЫВОД:

Таким образом, система изначально находится в стабильном режиме. В случае изменения каких-либо параметров системы и появления в ней периодического режима, можно использовать следующие методы для стабилизации системы:

1. Изменение параметров НЭ:

– уменьшить значение характеристики нелинейного элемента.

2. Изменение параметров ЛЧ:

– уменьшить значение коэффициента усиления ;

– уменьшить значение суммы постоянных времени .