- •3)Доверительный интервал для математического ожидания
- •6)Проверка гипотезы о равенстве дисперсий
- •7)Проверка гипотезы о равенстве средних (независимые выборки)
- •8)Проверка гипотезы о равенстве средних значений
- •9)Проверка гипотезы о равенстве средних двух нормальных совокупностей
- •10)Таблицы наблюдений
- •11)Метод наименьших квадратов
- •12)Элементы регрессионного анализа
- •13)Доверительный интервал для линейной регрессии
- •14)Критерий хи-квадрат
- •15)Критерий независимости признаков
- •16)Критерий Вилкоксона проверки однородности выборок
- •17)Закон Мальтуса.
- •19)Обобщенная логистическая популяция
- •20)Фазовый портрет автономной линейной системы второго порядка
- •21)Система «хищник – жертва».
- •23)Процесс выживаемости популяций
- •24)Ориентированные графы
- •25)Примеры орграфов.
- •26)Динамика развития орграфа
16)Критерий Вилкоксона проверки однородности выборок
Критерий обычно применяется в случае больших объемов выборок. При небольших объемах применяется критерий Вилкоксона.
Критерий применяется к случайным величинам, распределения которых неизвестны. Не требуется нормальности распределения выборок.
Требуется, чтобы признаки были непрерывными величинами.
Имеем две выборки
Если две выборки однородны, то они извлекаются из одной генеральной совокупности и имеют одинаковые неизвестные непрерывные функции распределения:
и .
Для обеих выборок значения аргумента функций распределения будем обозначать через x.
(двусторонняя критическая область)
в том смысле, что мы большие значения встретим скорее у распределения X, чем у Y.
(критическая область − правосторонняя)
(критическая область − левосторонняя)
Расположим выборки так, что
(1)
Случай 1.
(2)
Правило проверки гипотез.
-
Расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке, т.е. в виде одного общего вариационного ряда, и найти в этом ряду - сумму порядковых номеров вариант первой выборки.
Порядковые номера называются ранги.
-
По таблице 11 найти нижнюю критическую точку
,
где
в случае :
в случае и
в случае :
-
Найти верхнюю критическую точку
. (3)
-
Проверить принадлежность критической области:
в случае
если принимаем (наблюдения двух выборок принадлежат одной генеральной совокупности);
если принимаем (наблюдения принадлежат разным совокупностям).
в случае
если принимаем;
если принимаем (наблюдения принадлежат разным совокупностям, причем большие значения встретим скорее у распределения X, чем у Y).
в случае
если принимаем;
если принимаем (наблюдения принадлежат разным совокупностям, причем большие значения встретим скорее у распределения Y, чем уX).
Замечание. В случае с) можно не вычислять верхнюю критическую точку.
Случай 2.
в случае :
(4)
где знак означает, целую часть числа а, а определяется по таблице 2 с помощью равенства
(5)
В остальном правила сохраняются.
в случае и
в случае :
и нижняя критическая точка определяется по формуле (4), в которой
(6)
В остальном правила сохраняются.
17)Закон Мальтуса.
В неограниченной стационарной и благоприятной среде размер популяции экспоненциально возрастает.
Закон Мальтуса является одним из основных экологических принципов.
Закон Мальтуса проверен экспериментально и действительно, на начальной стадии, хорошо описывает рост однородных популяций.
Показатель роста можно вычислить экспериментально по двум измерениям.
Пусть в момент численность популяции ,
в момент − . Тогда
Откуда
Логарифмируем
18)2 случай. Учет ограниченности ресурсов. (6)
где - «ёмкость среды», т.е. максимальная численность популяции, которую может прокормить среда в отсутствии хищника.
Уравнение (2) примет вид
(7)
Уравнение (7) называется логистической моделью.
Решим уравнение (7) методом разделения переменных.
Проинтегрируем уравнение. Левая часть:
Тогда
Откуда
С учетом начальных условий после преобразований получим
(8)
График уравнения (8) называется логистической кривой.
Заметим, что
Уравнение (8) описывает популяцию фруктовых вредителей, некоторых видов бактерий, дрожжевых клеток:
Замечание.
До сих пор в модели процессы размножения и гибели происходят одновременно. Но в реальных популяциях интенсивность этих процессов различна в разных возрастных группах.
Если - средняя продолжительность жизни, то получим модель
Заметим, что во всех рассматриваемых логистических моделях
при любых начальных состояниях.