16)Критерий Вилкоксона проверки однородности выборок
Критерий
обычно применяется в случае больших
объемов
выборок. При небольших объемах применяется
критерий Вилкоксона.
Критерий применяется к случайным величинам, распределения которых неизвестны. Не требуется нормальности распределения выборок.
Требуется, чтобы признаки были непрерывными величинами.
Имеем две выборки
Если две выборки однородны, то они извлекаются из одной генеральной совокупности и имеют одинаковые неизвестные непрерывные функции распределения:
и 
.
Для обеих выборок значения аргумента функций распределения будем обозначать через x.
(двусторонняя критическая область)
в том смысле, что
мы большие значения встретим скорее у
распределения X,
чем у Y.
(критическая область − правосторонняя)
(критическая область − левосторонняя)
Расположим выборки так, что
(1)
Случай 1.
(2)
Правило проверки гипотез.
-
Расположить варианты обеих выборок в возрастающем порядке, т.е. в виде одного общего вариационного ряда, и найти в этом ряду
- сумму порядковых номеров вариант
первой
выборки.
Порядковые номера называются ранги.
-
По таблице 11 найти нижнюю критическую точку
,
где
в случае
:
в случае
и
в случае
:
-
Найти верхнюю критическую точку
. (3)
-
Проверить принадлежность
критической области:
в случае
если
принимаем (наблюдения двух выборок
принадлежат одной генеральной
совокупности);
если
принимаем (наблюдения принадлежат
разным совокупностям).
в случае
если
принимаем;
если
принимаем (наблюдения принадлежат
разным совокупностям, причем большие
значения встретим скорее у распределения
X,
чем у Y).
в случае
если
принимаем;
если
принимаем (наблюдения принадлежат
разным совокупностям, причем большие
значения встретим скорее у распределения
Y,
чем уX).
Замечание. В случае с) можно не вычислять верхнюю критическую точку.
Случай 2.
в случае
:
(4)
где знак
означает, целую часть числа а,
а
определяется по таблице 2 с помощью
равенства
(5)
В остальном правила сохраняются.
в случае
и
в случае
:
и нижняя критическая точка определяется по формуле (4), в которой
(6)
В остальном правила сохраняются.
17)Закон Мальтуса.
В неограниченной стационарной и благоприятной среде размер популяции экспоненциально возрастает.
Закон Мальтуса является одним из основных экологических принципов.
Закон Мальтуса проверен экспериментально и действительно, на начальной стадии, хорошо описывает рост однородных популяций.
Показатель роста
можно вычислить экспериментально по
двум измерениям.
Пусть в момент
численность популяции
,
в момент
−
.
Тогда
Откуда
Логарифмируем
18)2 случай. Учет
ограниченности ресурсов. 
(6)
где
- «ёмкость среды», т.е. максимальная
численность популяции, которую может
прокормить среда в отсутствии хищника.
Уравнение (2) примет вид
(7)
Уравнение (7) называется логистической моделью.
Решим уравнение (7) методом разделения переменных.
Проинтегрируем
уравнение. Левая часть: 
Тогда
Откуда
С учетом начальных условий после преобразований получим
(8)
График уравнения (8) называется логистической кривой.
Заметим, что
Уравнение (8) описывает популяцию фруктовых вредителей, некоторых видов бактерий, дрожжевых клеток:
Замечание.
До сих пор в модели процессы размножения и гибели происходят одновременно. Но в реальных популяциях интенсивность этих процессов различна в разных возрастных группах.
Если
- средняя продолжительность жизни, то
получим модель
Заметим, что во всех рассматриваемых логистических моделях
при любых начальных состояниях.