1)Результаты наблюдений, записанные в порядке возрастания вариант:

называются вариационным рядом.

Последовательность чисел называется статистическим рядом и записывается в виде таблицы.

			. . .
			. . .

Для непрерывных признаков и при большом объеме выборки данные группируются, и результаты представляются в виде интервального статистического ряда.

2)Статистической оценкой математического ожидания называется среднее арифметическое элементов выборки, которая называется выборочное среднее и обозначается .

Для выборки объемом n, заданной вариационным рядом :

.

Для определения рассеяния значений признака около математического ожидания рассматривается параметр, который называется дисперсией распределенияD(X) (генеральной дисперсией) и который определяетсяпо формуле:

Оценки дисперсии и

среднеквадратичного отклонения

Для выборки статистическая оценка дисперсии, удовлетворяющая требованиям состоятельности и несмещенности, имеет вид

, (4)

Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение) оценивается величиной

, (5)

которая называется выборочным стандартным отклонением. Тем самым

и .

3)Доверительный интервал для математического ожидания

Случай известной дисперсией

Условие (1) для математического ожидания принимает вид

(2)

Для нормального распределения

. (3)

Из (2) и (3) имеем уравнение для определения d

. (4)

Введем обозначение: .

Тогда

.

Значение определяется по таблице 2 значений функции Лапласа.

Например, для и в таблице 2 находим:

1,96	0,4750

Следовательно,.

После определения определяем точность оценки по формуле:

(5)

и границы доверительного интервала:

и (6)

Таким образом, с надежностью доверительный интервал содержит в себе генеральное среднее (математическое ожидание) а.

Оценка достоверности различий между результатами измерений и фиксированной величиной с помощью доверительного интервала

В практической деятельности по контролю состояния окружающей среды нередко возникает необходимость сравнить результаты измерений с какой-либо заданной фиксированной величиной. Наиболее типичный случай – сравнение с величиной предельно допустимой концентрации (ПДК) загрязняющего вещества в объектах окружающей среды.

Пусть фиксированная величина – ПДК, тогда

если > ПДК ПДКпревышена (с надежностью ):

если < ПДК ПДК не превышена (с надежностью ):

если <ПДК < различия между и ПДК недостоверны (с надежностью ):

.

В% случаев наши выводы могут оказаться неверными.

4)Случай больших выборок.

Приведенные выше расчеты доверительного интервала применяются и в случаях с неизвестной дисперсии, но только если объем выборок , т.е. в случаях больших выборок.

В этом случае в формулах (3) и (4) вместо используется его вычисленная по выборке несмещенная оценка , т.е. считаем, что .

Минимальный объем выборки.

Если требуется оценить математическое ожидание с наперед заданной точностью оценки d и надежностью , то из формулы (3) получим формулу для минимального объема выборки, который обеспечит эту точность:

.

5)Статистической гипотезой называется предположение о виде распределения или о параметрах известных распределений.

Ошибки принятия гипотез

Ошибка 1 рода состоит в том, что будет отвергнута правильная гипотеза.

Ошибка 2 рода состоит в том, что будет принята неправильная гипотеза.

	принимается	отвергается
верна	Решение правильное	Ошибка 1 рода
неверна	Ошибка 2 рода	Решение правильное

Вероятность допустить ошибку 1 рода называют уровнем значимости.

Вероятность задается заранее, при этом обычные значения : 0,1; 0,05; 0,005; 0,001.

6)Проверка гипотезы о равенстве дисперсий

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить точность приборов, инструментов, методов измерений, технологий.

Очевидно, предпочтительнее взять тот прибор, инструмент и т.п., который обеспечивает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дисперсию.

Проведем измерения на двух приборах.

Пусть все возможные измерения первым прибором − Х и этим прибором проведено измерений, и по ним вычислена − оценка .

Пусть все возможные измерения вторым прибором − Y и этим прибором проведено измерений, и по ним вычислена − оценка , причем .

Требуется по выборочным средним и заданном проверить значимость этого различия.

Краткое условие:

Х: ,

Y: , причем .

Сформулируем гипотезу:

Зададим или в зависимости от конкретной задачи.

Вычислим

,

где - большая дисперсия, а - меньшая дисперсия.

Соответствующая случайная величина F − статистический критерий данной задачи − имеет распределение Фишера – Снедекора.

Если , то выборочное значение критерия

.

Критическая область - правосторонняя.

Для определения найдем степени свободы:

,

где - объем выборки с большей дисперсией

- объем выборки с меньшей дисперсией .

Критические значения распределения Фишера представлены в таблице 7 или .