Лекция 13. Матричные балансовые модели.

Применяемость матричных балансовых моделей. Структура модели. Основные прогнозные модели. Составление прогнозной балансовой модели.

Для анализа и планирования производства и распределения продукции на различных условиях хозяйствования применяются матричные балансовые модели. Основоположником этих моделей является русский ученый Леонтьев В.П. Им была разработана балансовая модель в разрезе отраслей. Данная модель, теперь называемая моделью Леонтьева, применяется довольно часто. Если существуют какие-то объединения (типа корпораций) экономических субъектов, кооперирующих между собой с целью получения больше прибыли для данного объединения, и конечно, для каждого члена этого объединения, то они могут планировать свою деятельность, используя балансовые модели. Увеличение прибыли достигается за счет специализации производства средств производства, которыми пользуются все члены объединения.

Сегодня в индустриально развитых странах часто применяется кластерная модель развития экономики. Кластерная модель предусматривает объединение нескольких предприятий, выпускающих различную конкурентную способную продукцию. Для планирования их взаимной деятельности также используется матричная балансовая модели.

Классическая матричная балансовая модель представлена на рис.13.

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли					Конечная продукция	Валовая продукция
	1	2	3	…	n
1	х11	х12	х13	…	х1n	y1	x1
2	x21	х22	х23	…	х2n	y2	x2
3	х31	х32	х33	…	х3n	y3	x3
…	…	…	…	I…	…	II…	…
N	хn1	хn2	хn3	…	хnn	yn	xn
Оплата труда	v1	v2	v3	III…	vn	vкон IV	-
Чистый доход	m1	m2	m3	…	mn	mкон	-
Валовая продукция	X1	X2	X3	…	Xn	-	Х

Рис. 13. Общая схема межотраслевого баланса.

Данные составляющие матрицу и характеризующие материальные взаимоотношения между отраслями подразделяются на 4 квадрата (I, II, III, IV):

I квадрат – материальные потоки x_ij между отраслями, предопределяющие производство и потребление средств производства каждой отрасли;

II квадрат – объем производства конечной продукции y_i каждой отрасли т.е. продукция идущая на потребление вне сферы производства;

III квадрат – чистая продукция каждой отрасли, идущая на потребление внутри каждой отрасли (v_j и m_j)

IV квадрат – величина национального дохода (v_кон и m_кон), структура состоящая либо из совокупности конечной либо чистой продукции всех отраслей.

Балансовой величиной является валовая продукция, часто называемая совокупный продукт. Отрасли рассматриваются в двух аспектах – как производящая (обозначим через i) и потребляющая (обозначим через j).

Таким образом, совокупный продукт X_i i-ой отрасли рассматривается как из производства средств производства для всех отраслей плюс конечный продукт. Математически это выражается в качестве системы уравнений (балансовая модель)

.

чистая продукция каждой отрасли может содержать несколько составляющих. В исходной модели Леонтьева это рассматривается как оплата труда и чистый доход (v_j + m_j). Вторая балансовая модель записывается в виде следующей системы уравнений

.

Величина национального дохода рассматривается так:

.

Наличие такого баланса очевидное. Просуммировав уравнения первой модели по интервалу i и второй по индексу j получим последнее соотношение.

Модель Леонтьева использовалась для прогнозирования величины национального дохода, а тем самым для прогнозирования конечной и валовой продукции, что в свою очередь дает возможность планировать распределение капиталовложений для развития отдельных отраслей, планирования транспорта и т.д.

Прогнозная модель строится с использованием прямых или полных материальных затрат. Прямые материальные затраты a_ij показывают, сколько тратит i-ая отрасль для производства единиц продукции j-ой отрасли. Математически это запишется так:

отсюда . Используя это соотношение, перепишем первую балансовую модель

.

Данные балансовые соотношения являются основной математической моделью прогнозирования т.е. составление балансовой матричной модели на следующий плановый период.

Используя алгебраические преобразования можно получить так называемую матрицу полных материальных затрат. Запишем в векторном виде последнюю систему уравнений

.

Пусть Е единичная матрица размерности n. Тогда . Перепишем , отсюда

- где обратная матрица , называемая матрицей полных материальных затрат. Обозначим ее через А, тогда

.

Это другая форма записи математической модели, используемая для прогнозирования.

Перепишем вторую балансовую модель, используя матрицу прямых материальных затрат

.

Чистая продукция j-ой отрасли, определяется из системы уравнений

.

Исходя из матричной модели, можно определить коэффициент прямых и полных трудовых затрат на единицу продукции, а также прямой и полной фондоотдачи [7]

Пример. Имеется отчетный межотраслевой баланс (Рис. 14).

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечная продукция тыс. грн.	Валовая продукция тыс. грн.
	1	2	3
1	32,4	10,0	10,6	55,0	108,0
2	16,0	12,0	0,0	12,0	40,0
3	10,6	4,0	6,4	32,0	53,0
vj	9,8	2,8	7,2	99	-
mj	39,2	11,2	28,8		-
Валовая продукция, тыс. грн.	108,8	40,0	53,3	-	201

Рис. 14. Отчетный межотраслевой баланс.

Пусть объем конечной продукции на планируемый период составляет

y_i =60; 15; 40 тыс. грн. Необходимо составить балансовую модель на планируемый период.

Определяются прямые материальные затраты исходя из одной отчетной модели

а₁₁ =32,4/108,0=0,30 а₂₁=16,0/108,0=0,15 а₁₃=10,6/108,0=0,10

а₁₂=10,0/40,0=0,25 а₂₂=12,0/40,0=0,30 а₃₂=4,0/40,0=0,10

а₁₃=10,6/53,0=0,20 а₂₃=0,0/53,0=0,0 а₃₃=6,4/53,0=0,12

0,30 0,25 0,20

а= 0,15 0,30 0,0

0,10 0,10 0,12

Первая балансовая модель по заданным прямым затратам и планируемой конечной продукции запишется так:

X₁=0,30Х₁+0,25Х₂+0,20Х₃+60,0

X₂=0,15Х₁+0,30Х₂+0,0Х₃+15,0

X₃=0,10Х₁+0,10Х₂+0,12Х₃+40,0

Переформируем систему уравнений

0,70Х₁-0,25Х₂-0,20Х₃=60,0

0,15Х₁+0,70Х₂ =15,0

0,10Х₁+0,10Х₂+0,88Х₃=40,0

Решить систему уравнений методом Жордана–Гаусса, получим значения Х₁, Х₂ и Х₃ т.е. объемы валовой продукции на планируемый период т.е.

Х₁=120,63; Х₂=46,76; Х₃=64,96

Считается, что величина прямых материальных затрат не меняется переходя из одного планового периода в другой, можно определить материальные потоки между отраслями на плановый период. Исходя из формулы , определим значения x_ij. Матрица материальных потоков

36,19 11,69 12,99

18,09 14,03 0,0

12,06 4,68 7,80

Вторая балансовая модель по известным объемам валовой продукции и материальным потокам запишется так

120,63=66,34+m₁+v₁

46,76=30,40+m₂+v₂

64,96=20,79+m₃+v₃

отсюда общую чистую продукцию составит

m₁+v₁=54,29

m₂+v₂ =16,36

m₃+v₃ =44,17

Распределяя по ее с учетом 20% v_j и 80% m_j получаем:

v₁ 10,86; v₂=3,27; v₃=8,83

m₁=43,43; m₂=13,09; m₃=35,34

Планируемый межотраслевой баланс приведен на рис. 15

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли			Конечная продукция тыс. грн.	Валовая продукция тыс. грн.
	1	2	3
1	36,19	11,63	12,99	60,0	120,63
2	18,09	14,03	0,0	15,0	46,76
3	12,06	4,68	7,80	40,0	64,96
vj	10,86	3,27	8,83	115,0	-
mj	43,43	13,09	35,34		-
Валовая продукция, тыс. грн.	120,63	46,76	64,96	-	232,35

Рис. 15. Планируемый межотраслевой баланс.

Вопросы для самоподготовки.

1. Когда применима матричная модель?

2. Две модели в балансе – это что?

3. Как определяется прогнозная математическая модель?

4. Что нужно определить, чтобы составить прогнозную балансовую модель?

Список рекомендованої літератури.

1. Грубер Й. Економетрія: Вступ до множинної регресії та економетрії: У 2т.- К.: Ніч лава, 1998. – Т.1. Вступ до економетрії. – 384с.; 1999. – Т.2. – 308с.

2. Корольов О.А. Економетрія: Навч.посіб. – К.: Вид-во КНЕУ, 2000. – 660с.

3. Наконечний С.І., Терещенко Т.О., Романюк Т.П. Економетрія: Підручник. – К.: Вид-во КНЕУ, 2000. – 296с.

4. Кейн Э. Экономическая статистика и эконометрия. Введение в количественный экономический анализ. – М.: Статистика, 1977. – 254с.

5. Математика а экономике: Учеб.-метод. Пособие для вузов /Под ред. Проф. Н.Ш.Кремера. – М.: Финстатинформ, 1999. – 94с.

6. Тинтер Г. Введение в эконометрию – М.: Статистика, 1965. – 362с.

7. Хазанова Л.Э. Математическое моделирование в экономике: Учеб. Пособие. – М.: БЕК, 1998. – 142с.