Лекция 11. Имитационное моделирование.

Идея имитационного моделирования. Структура имитационной модели. Тенденция событий. Логическое исследование объекта.

Имитационное моделирование (ИМ) как математический аппарат используется в тех случаях, когда невозможно построить строчную математическую модель, которая описывала бы исследуемую систему. При имитационном подходе строится экспериментальная модель системы. Экспериментальная модель это не что иное, как логико-математическая модель, состоящая из математической части и логического исследования проходящего в системе во время ее функционирования. Формальная схема ИМ приведена на рис. 6.

Имитационное моделирование

Математическая часть

Логическая часть

Генерация событий

Сбор статистики об изменениях в системе

Генерация интервалов времени

Генерация событий происходящих с определенной частотой

Обработка результатов логического исследования

Рис. 6. Формальная схема ИМ.

Изначально исследование заключается в сборе статистики об изменениях. Изменения в системе происходят в определенные моменты времени, говорят, что по наступлению событий. При построении модели исследуемой системы необходимо воспроизвести наступление событий. Наступления имеют случайный характер, и может произойти по истечению определенного интервала времени либо с определенной частотой. Если события наступают по истечению определенного интервала времени, то интервалы рассматриваются как случайные величины, которые подчиняются определенному вероятностному закону распределения случайных величин. Для того чтобы сгенерировать эти величины необходимо знать закон их распределения. Закон распределения это результат наблюдения реальной системы, работу которой мы имитируем.

Чтобы сгенерировать события, наступающие с определенной частотой необходимо иметь вероятностную модель. Вероятности в модели предопределяют частоты появления исходов, соответствующих появлениям событий в рассматриваемой системе. Вероятностная модель также результат наблюдения работы реальной системы. В логико-математической модели необходимо определить представить структуру, генерирующую исходы, согласно вероятностной модели.

Пример 1. Рассматривается работа участка поточной линии в механической схеме предприятия. Участок состоит из двух рабочих мест Р₁ и Р₂ и наполнителя заготовок между ними и емкости N. На рис. 7 представлена структура участка.

N

Поступление заявок

Выход обработанных заготовок

Р₁ P₂

Рис. 7. Структура участка поточной линии

Предположим, что поступления заготовок на обработки и длительность обработки на рабочих местах Р₁ и Р₂ имеет случайный характер и подчиняются закону распределения случайных величин типа Эрланга.

В таком случае интервалы времени поступления, и обработки заготовок вычисляются по формуле:

- где _k – случайная величина равномерно распределенная в интервале (0,1) _i интенсивности поступления и обработки заготовок.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

7

8

10

4

6

9

2

3

5

1

2

3

4

5

6

7

8

Р1

5

6

7

3

4

1

2

3

4

5

Р2

Рис. 8. Результаты исследования работы участка.

На рис. 8. Приведены результаты экспериментального исследования работы участка поточной линии, если интенсивности поступления и обработки заготовок равно ₀=0,36, ₁=0,31, ₂=0,24 в единицу времени соответственно. Работа участка исследовалась в течении 28 единиц времени. За это время поступило на обработку 10 заготовок, обработанных вышло 4. Остальные ситуации приведены на рисунке 8.

На временной оси «поступление» отмечены моменты поступления заготовок. На оси «очередь» заштрихованными прямоугольниками отмечены длительности простои заготовок в очереди из-за занятости работника Р₁. Оси Р₁ и Р₂ соответствует работе и простоям работников. Результаты исследования следующие: все поступившие на обработку заготовки простояли в очереди 33 единицы времени. Среднее время пребывания в очереди составляет 3.3 единицы времени. Работник Р₂ простоял за время исследования работы участка 7 единиц времени из-за отсутствия заготовок в накопителе. В накопителе побывали 5 заготовок, общее время составляет 22.5 единиц. Среднее время пребывания в накопителе заготовки 2.25 .

Работа участка исследовалась не продолжительное время. Для полной оценки качества работы статистика не многочисленна. Однако очевидно, что очередь растет, а это значит, что работник Р₁ не совсем справляется, следует поставить на входе два работника. В накопителе также скапливаются заготовки, а это приводит к тому, что Р₁ будет простаивать из-за переполнения накопителя. Необходимо усилить работу Р₂. Возможно, необходимо поставить также два работника. Для принятия решения надо продолжить эксперимент и провести экономическое исследование эффективности создания участка новой структуры.

Пример 2. Мистер N хочет оценить степень оптимальности некоторой конкретной стратегии приобретения и продажи акций. Для упрощения схемы рассуждения предполагается, что он приобретает или продает акции одного вида. В рассматриваемый момент он обладает пакетом в 100 акций, каждая из которых в данный момент оценивается в 10 долларов. Для простоты допускаем также, что цена акции может ежедневно меняться только на один доллар. Держатель акций совершает не более одной сделки в день и за каждую сделку платит комиссионные в размере 2% стоимости реализуемых акций.

Мистер N хочет проверить степень прибыльности следующей стратегии:

• обладая пакетом акций, необходимо продать его, как только цены на акции начинают падать;

• в противном случае следует приобретать такие акции, как только цены на них на начинают возрастать.

В результате наблюдений составлена вероятностная модель изменения цен на акции (см. рис. 9.)

Видно, что тенденция изменения цены сохраняются с большей вероятностью, чем эта тенденция изменяется.

Цена одной акции в n-ый день.

Цена одной акции в (n-1) –ый день	Возрастает	Остается без изменения	Падает
Возросла по сравнению с (n-2)-ым днем	1/2	1/4	1/4
Осталась также как и в (n-2)- ой день	1/4	1/2	1/4
Упала по сравнению с (n-2)-ым днем	1/4	1/4	1/2

Рис. 9. Вероятностная модель изменения цен на акции.

Прежде, чем начинать имитационное моделирование необходима генерация конкретных ситуаций, исходы которых соответствовали с распределением вероятностей приведенной модели изменения цен на акции (рис.9).

Одним из наиболее простым способов такого рода генерации заключается в бросании двух монет. Появление не одинаковых «картинок» более вероятное событие, чем появление одинаковых. Соответствие между случайными исходами при бросании монет и генерируемыми ситуациями можно представить с помощью таблицы, приведенной на рис. 10.

Цена одной акции в n-ый день.

Цена одной акции в (n-1) –ый день	Возрастает	Остается без изменения	Падает
Возросла по сравнению с (n-2)-ым днем	орел и решка (О, Р)	два орла (2О)	две решки (2 Р)
Осталась также как и в (n-2)- ой день	два орла (2 О)	орел и решка (О, Р)	две решки (2 Р)
Упала по сравнению с (n-2)-ым днем	два орла (2 О)	две решки (2 Р)	орел и решка (О, Р)

Рис. 10. Генерируемое изменение цен, полученное бросанием монет

Пусть имитируется период продолжительностью 20 дней; монеты бросаются 20 раз. Результаты последовательного бросания монет представлены в таблице на рис.11. Начальные условия такие, в нулевой день цена акции 10 долларов и совпадают с соответствующим показателем в предшествующий день.

День	Результат бросания монет	Направление изменения	Сегодняшняя цена одной акции
0	-	-	10
1	О/Р	без изменения	10
2	2Р	без изменения	9
3	2О	в сторону убывания	10
4	2О	в сторону возрастания	10
5	2О	без изменения	11
6	О/Р	в сторону возрастания	12
7	2О	то же	12
8	2Р	без изменения	11
9	2О	в сторону убывания	12
10	Р/О	в сторону возрастания	13
11	2Р	в сторону возрастания	12
12	О/Р	в сторону убывания	11
13	2Р	то же	11
14	2О	без изменения	12
15	О/Р	в сторону возрастания	13
16	О/Р	в сторону возрастания	14
17	2Р	то же	13
18	О/Р	в сторону убывания	12
19	О/Р	то же	11
20	2Р	то же	11

Рис. 11. Результаты имитирования изменения цен акций.

Теперь используя конкретные данные об изменении цен в течении 20-ти дневного периода, мы можем проверить, на сколько правильной является предложенная стратегия. Результаты поведения мистера N согласно предложенной стратегии приведены на рис. 12.

С первого взгляда рассмотренная стратегия не является выгодной. Однако торопиться не надо. Выбранный период содержит и выгодные позиции. Это 6 и 16 дни. Продолжительность имитирования изменения цен короткий. Утвердительные результаты не возможно получить. Период имитирования нужно увеличить в несколько раз. В таком случае полученные данные будут более достоверные. Возможно, будет наблюдаться некоторая периодичность появления выгодных позиций.

День	Цена акции ($)	Решение	Количество акций на руках	Стоимость пакета акций ($)	Наличные деньги ($)
0	10		100	1000
1	10		100	1000
2	9	продать	0	0	882,00
3	10	купить	86	860	4,80
4	10		86	860	4,80
5	11		86	946	4,80
6	12		86	1032	4,80
7	12		86	1032	4,80
8	11	продать	0	0	931,88
9	12	купить	76	912	1,64
10	13		76	988	1,64
11	12	продать	0	0	895,40
12	11		0	0	895,40
13	11		0	0	895,40
14	12	купить	73	876	1,88
15	13		73	949	1,88
16	14		73	1022	1,88
17	13	продать	0	0	931,90
18	12		0	0	931,90
19	11		0	0	931,90
20	11		0	0	931,90

Рис.12. Результаты поведения мистера N.

Вопросы для самопроверки.

1. Когда применимо имитационное моделирование?

2. Что значит построить имитационную модель?

3. Как определяется событие в имитационном моделировании?

4. Какую исходную информацию необходимо задать при построении имитационной модели?

5. Что считается результатом имитационного моделирования?