2.2 Спектральный состав тока при степенной аппроксимации

Для определения амплитуд гармоник тока подставим выражение для напряжения, приложенного к нелинейному элементу , в формулу полинома (5), используемого для степенной аппроксимации в окрестности рабочей точки:

В результате получим

Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами

Запишем выражение для тока, сгруппировав отдельно все постоянные составляющие, все члены с косинусами, все члены с косинусами удвоенного аргумента и т.п. в следующей форме:

В более компактном виде формула (8) выглядит так:

,

где значения амплитуд спектральных составляющих , , , … определяются выражениями, заключенными в формуле (8) в скобки.

2.3 Спектральный состав тока при кусочно―линейной аппроксимации

На рисунке 7 показана форма тока в цепи с нелинейным элементом при кусочно―линейной аппроксимации его характеристики функцией

(9)

когда на вход подается напряжение .

График тока имеет характерный вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Половина той же части периода, в течение которой протекает ток, называется углом отсечки. На рисунке 7 угол отсечки обозначен υ и показан как на графике тока, так и на графике напряжения. Измеряется угол отсечки в радианах или в градусах.

При

Последнее равенство позволяет определить угол отсечки:

откуда

Ток на интервале отличен от нуля и определяется из формулы (9) подстановкой в нее напряжения и напряжения . В результате получаем

(10)

(11)

Постоянная составляющая и амплитуды гармоник ряда (11) находятся как коэффициенты ряда Фурье:

(12)

В этих формулах функции

называются функциями Берга (в честь крупного советского радиофизика академика А.И. Берга).

Рисунок 7― форма тока в цепи с нелинейным элементом

Так как они зависят только от угла отсечки, их можно рассчитать заранее. В соответствующих справочниках приводятся таблицы и графики функции Берга. Графики нескольких таких функций представлены на рисунок 8. Таким образом, амплитуды спектральных составляющих тока рассчитывают в соответствии с формулой (12) как

,

Чтобы получить максимальные амплитуды гармоник, следует выбирать , так как при таких углах отсечки функции принимают максимальные значения.

Рисунок 8― графики функции Берга

3 Нелинейные преобразователи гармонического сигнала

3.1 Нелинейный резонансный усилитель

Нелинейный резонаторный усилитель изображен на рисунке 9. На входе его действует переменное напряжение и постоянное напряжение смещения . Будем полагать, что вольтамперная характеристика , т.е. зависимость тока коллектора от напряжения на участке «база―эмиттер», достаточно точно представляется кусочно―линейной функцией вида (9). Если на входе нелинейного элемента (транзистора) действует напряжение не выходящее за приделы линейного участка, то ток в цепи коллектора

будет, как и входное напряжение, гармоническим (смотри рисунок 10 б).

Если же амплитуда переменного напряжения велика, так что напряжение «выходит» за рамки линейного участка (подобная картина показана на рисунке 7), то ток в цепи коллектора имеет форму косинусоидальных импульсов с отсечкой. Резонансный контур настроен на частоту первой гармоники тока, т.е. на частоту входного сигнала.

Рисунок 9― Нелинейный резонаторный усилитель

Сопротивление параллельного контура на этой частоте велико, а на частотах гармоник , ,…, очень мало, так что высшие гармонические составляющие практически не дают вклада в выходной сигнал и , где ―амплитуда первой гармоники тока коллектора , ―сопротивление параллельного контура на резонансной частоте.

б)

а) ―транзисторный резистивный каскад;

б) ―ток и напряжение на входе нелинейного элемента

Рисунок 10― Нелинейный резонаторный усилитель с резистивной нагрузкой

Выходное напряжение

практически будет косинусоидальным (т.е. гармоническим).

Резонансный умножитель частоты

Схема резонансного умножителя частоты отличается от нелинейного резонансного усилителя (смотри рисунок 9) только тем, что колебательный контур в выходной цепи настраивается на частоту одной из высших гармоник входного сигнала. Амплитуда выходного сигнала умножителя при кусочно―линейной аппроксимации равна , а выходной сигнал имеет частоту в раз более высокую, чем у входного сигнала

При больших функции имеют небольшие значения, поэтому важно выбрать угол отсечки, при котором значение соответствующей функции Берга максимально. Существует оптимальный угол отсечки. При таком угле отсечки амплитуда выходного напряжения получается наибольшей.

Умножители частоты применяются в радиотехнике для получения высокочастотных стабильных колебаний, когда в распоряжении имеется весьма стабильный низкочастотный генератор. Если отклонение частоты , генерируемой низкочастотной схемой, составляет , то относительная нестабильность частоты равна . В умножителе частоты вместо частоты получаем частоту , а относительная нестабильность остается такой же, как и у низкочастотного генератора.