1 Аппроксимация характеристик нелинейных элементов

Методы аппроксимации

Как правило, ВАХ нелинейных элементов получают экспериментально, поэтому чаще всего они заданы в виде таблиц или графиков. Чтобы иметь дело с аналитическими выражениями, приходится прибегать к аппроксимации.

Методы аппроксимации, используемые в линейных цепях, могут быть использованы и для представления характеристик нелинейных цепей. Отличие будет состоять в выборе аналитических зависимостей, так как аппроксимации подлежат функции совершенно другого класса (в частности, ВАХ, а не АЧХ, ФЧХ и временные).

Обозначим заданную таблично или графически ВАХ нелинейного элемента , а аналитическую функцию, аппроксимирующую заданную характеристику, , где ― коэффициенты этой функции, которые нужно найти в результате аппроксимации.

В методе Чебышева коэффициенты функции находятся из условия

, (1)

т.е. они определяются в процессе минимизации максимального уклонения аналитической функции от заданной. Здесь , ― выбранные значения напряжения.

При среднеквадратичном приближении коэффициенты должны быть такими, чтобы минимизировать величину

. (2)

Приближение функции по Тейлору основано на представлении функции рядом Тейлора в окрестности точки

(3)

и определении коэффициентов этого разложения. Если ограничится первыми двумя членами разложения в ряд Тейлора, то, очевидно, речь пойдет о замене сложной нелинейной зависимости более простой линейной зависимостью. Такая замена называется линеаризацией характеристик.

Заметим, что первый член разложения (3) представляет собой постоянный ток в рабочей точке при , второй член – дифференциальную крутизну вольтамперной характеристики в рабочей точке, т.е. при

Наиболее распространенным способом приближения заданной характеристики является интерполяция (метод выбранных точек), при которой коэффициенты аппроксимирующей функции находятся из равенства этой функции и заданной в выбранных точках (узлах интерполяции)

Таким образом, задача аппроксимации ВАХ нелинейных элементов заключается в выборе вида аппроксимирующей функции и определения ее коэффициентов одним из указанных выше методов.

1.2 Степенная ( полиномиальная ) аппроксимация

Такое название получила аппроксимация ВАХ степенными полиномами

. (4)

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности точки, называемой рабочей. Тогда используют степенной полином.

. (5)

Определить коэффициенты полинома (4) можно различными способами. При среднеквадратичном приближении они находятся из условия , где определяется формулой (2).

Из математики известно, что минимум функции нескольких переменных достигается при равенстве нулю производных функции по ее параметрам, т.е. при , . Если подставить в формулу (2) выражение степенного полинома, вычислить производные

l=0, 1 ,… , N,

И приравнять их к нулю, то получим, что коэффициенты , дающие наилучшее среднеквадратичное приближение, находятся из решения следующей линейной системы уравнений:

,. (6)

При этом число точек u=u_k, в которых оценивается приближение, может быть гораздо больше числа коэффициентов .

Применение метода интерполяции (метода выбранных точек), когда добиваются совпадения и в выбранных точках u=u_k, приводит к линейной системе уравнений

,, (7)

Из которой и находятся коэффициенты . В этом методе число выбранных точек (узлов интерполяции) должно совпадать с числом коэффициентов.

Существуют также способы определения коэффициентов степенного полинома путем минимизации чебышевской погрешности (1), использования разложения в ряд Тейлора и др. Степенная аппроксимация широко используется при анализе работы нелинейных устройств, на которые подаются относительно малые внешние воздействия, поэтому требуется достаточно точное воздействие нелинейности характеристики в окрестности рабочей точки.

Пример. На рис 4 кружочками показана полученная экспериментально характеристика , т.е. зависимость тока базы от напряжения между базой и эмиттером для транзистора КТ301. Осуществим постепенную аппроксимацию этой характеристики в диапазоне от 0,4 до 0,9 В полиномом второй степени в окрестности рабочей точки .

Коэффициенты , , и полинома найдем, используя метод интерполяции. Выберем в качестве узлов интерполяции точки, соответствующие напряжениям , и составим систему уравнений (7):

Решение этой системы дает, ,. Кривая тока проходит через три экспериментальные точки, соответствующие узлам интерполяции (рисунок 4 кривая 1). Из рисунка видно, что некоторые экспериментальные точки (например, при ) плохо «ложатся» на эту кривую. Кроме того, нас не устраивает изгиб в нижней части характеристики.

Более лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином четвертой степени и выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока пройдет через все пять экспериментальных точек.

Однако можно попытаться сохранить вторую степень полинома и улучшить аппроксимацию, воспользовавшись каким―либо другим методом для определения коэффициентов , , и . Попробуем найти эти коэффициенты, используя среднеквадратическое приближение тока ко всем пяти экспериментальным значениям. Составим уравнения (6):

Решение этой системы уравнений α₀ =0,164 мА, α₁=1,07 мА/В и α₂=2,069 мА/В².

График тока показана на рисунке (кривая 2). Эта характеристика является, по―видимому, более приемлемой для аналитического описания экспериментальных результатов.

Рисунок 4― зависимость для транзистора КТ301