БАЛАКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ, ТЕХНОЛОГИИ И УПРАВЛЕНИЯ

ФАКУЛЬТЕТ ИНЖИНЕРО – СТРОИТЕЛЬНЫЙ

КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ И ИНФОРМАТИКИ В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине ТАУ

 Исследование устойчивости линейных и нелинейных систем

автоматического управления

Выполнили ст. гр. УИТ-41в

Петрова Е.В.

Принял доцент каф. УИТ

Ефремова Т.А._______

«___»_______________2004г

2004

Вариант 25

Цель работы: освоение математических методов теории систем. Приобретение практических навыков анализа систем управления с применением современных программных и технических средств.

Рис. 1 Исходная схема.

Дано:

, , ,

Задание:

Часть 1: Линейная система.

1. Упростить систему.

2. Посчитать устойчивость (любым способом).

3. Построить переходную характеристику.

4. Построить амплитудно-частотную характеристику.

5. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Часть 2: Нелинейная система.

Часть 3: Дискретная система.

1. Z – преобразование.

2. - преобразование.

3. - преобразование.

4. Посчитать устойчивость.

5. Построить ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Часть 4: Вывод.

Решение:

Часть 1: Линейная система.

1.1 Преобразуем структурную схему.

Звенья соединены последовательно, следовательно, имеем:

В соответствии с данным преобразованием, структурная схема САУ примет вид:

Звенья W₅(p), W₄(p) включены встречно – параллельно (сумматор отрицательный), следовательно:

Получили передаточную функцию данной системы:

2. Посчитаем устойчивость системы.

Для того чтобы проверить устойчивость системы, воспользуемся теоремой Ляпунова и методом Гурвица.

Теорема: автоматическая система, описанная линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами, будет устойчива, если вещественные корни дифференциального уравнения будут отрицательны, а комплексные корни будут иметь отрицательную реальную часть.

Найдем корни характеристического уравнения данной системы.

Данная система устойчива, так как характеристическое уравнение имеет один отрицательный действительный корень и два комплексных корня с отрицательной реальной частью.

Устойчивость по Гурвицу: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все миноры определителя Гурвица были положительны.

Запишем характеристическое уравнение для рассматриваемой системы, получим:

.

Составим определители Гурвица из коэффициентов характеристического уравнения:;;;.

Согласно критерию Гурвица, система устойчива, т.к. все миноры больше нуля.

2. Построим переходный процесс.

На вход подается -функция Хевисайда.

Функция, определяющая изменение выходной величины системы при подаче на ее вход единичного ступенчатого воздействия и при нулевых начальных условиях называется переходной функцией системы и обозначается: h(t).

По виду переходной характеристики можно также сказать, что данная система устойчива.

По переходному процессу определим прямые оценки качества.

а) Время переходного процесса – это время за которое регулируемая величина входит в пятипроцентную трубку.

б) Время первого согласования – это время за которое регулируемая величина первый раз достигает установившееся значение.

в) Перерегулирование – определяем максимальную динамическую ошибку.

г) Время нарастания регулируемой величины – это время за которое регулируемая величина достигает максимальное значение.

д) Число колебаний – определяется числом колебаний регулируемой величины за время регулирования процесса.

По виду данного переходного процесса прямые оценки качества системы не определяются.

2. Построим график амплитудно-частотной характеристики.

Последовательность нахождения частотных характеристик:

1. Сделать замену в передаточной функции .

2. Освободится от мнимых чисел в знаменателе путем умножения числителя и знаменателя выражения на комплексно-сопряженное знаменателю число.

3. Раскрыть скобки и привести подобные члены и разделить в числителе на сумму вещественного и мнимого полиномов.

4. Записать выражения для вещественной и мнимой частотных характеристик.

5. Записать выражения для амплитудно-частотной характеристики.

6. Построить графики.

Построение частотных характеристик по полученной передаточной функции.

Найдем корни характеристического уравнения данной системы.

Запишем передаточную функцию в следующем виде:

Умножим и числитель, и знаменатель на комплексно сопряженное число.

После всех преобразований получим:

Ведем замену

Выделим мнимую и реальную части:

Построим график АЧХ.

Найдем косвенные оценки качества.

а) Колебательность

, тогда

б) Резонансная частота – это часто при которой амплитуда максимальна.

в) Частота среза – это частота при которой амплитуда равна 1.

г) Полоса пропускания частот – это наилучшее провождение сигнала через систему или коридор ограниченный прямой параллельной оси с координатой . Из точек пересечения данной прямой с АЧХ опускаем перпендикуляры на ось , которые и ограничивают полосу пропускания частот.

В нашем случае его нет.

2. Построим ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Для построения ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнем систему, то получим

,

тогда

Запас по амплитуде равен , а по фазе .

Часть 2: Нелинейная система.

Дана структурная схема нелинейной САУ:

Нелинейный элемент имеет вид:

Б

А

Релейные звенья для снижения аналитических затрат необходимо вводить в режим пограничного регулирования. Загрубим крутизну статической характеристики в области АБ, тогда для расчета линеаризуем нелинейный элемент для этого найдем коэффициент крутизны , который показывает как входная величина преобразуется в выходную.

Согласно полученному выражению можем преобразовать структурную схему.

Звенья соединены последовательно, следовательно, имеем:

В соответствии с данным преобразованием, структурная схема САУ примет вид:

Звенья W₆(p), W₇(p) включены встречно – параллельно (сумматор положительный), следовательно:

тогда:

Исходя из схемы, по правилу преобразования структурных схем, получим передаточную функцию системы:

,

Получили передаточную функцию данной системы:

Анализ влияния полученного коэффициента усиления на поведение системы!!!!

Часть 3: Дискретная система.

Математическая модель непрерывно-дискретной САУ имеет вид:

Передаточные функции дискретной и непрерывной частей имеет вид:

Дискретное управление на выходе непрерывно-дискретного элемента изменяется в строго определенные моменты времени, связанные с шагом квантования Т (Т=0,06), а все остальное время остается постоянным. Такой непрерывно-дискретный элемент называется элементом фиксатором нулевого порядка.

Дискретную математическую модель линейного дискретно-непрерывного объекта с передаточной функцией и фиксатором нулевого порядка на выходе можно получить, используя Z – преобразование.

Получили z-преобразованную передаточную функцию замкнутой системы.

Проверим данную систему на устойчивость. Используем для этого метод Шур-Кона.

Полученную z-преобразованную функцию подвергаем ω-преобразованию.

Далее произведем λ-преобразование полученной функции.

Строим переходный процесс, АЧХ и находим прямые и косвенные оценки качества.

Размыкаем исходную непрерывную систему и получаем передаточную функцию разомкнутой системы. В этом случае передаточная функция непрерывной части имеет вид:

Затем проводим z-, ω-, λ-преобразования полученной передаточной функции. По полученной функции строим ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Выбор микропроцессора

Из данной системы выбираем наименее инерционное звено, граничная частота которого равна f_гр=…….. . На основании этого выбираем частоту микропроцессора f_мп=10f_гр (Постоянные времени Т_мп=0,1Т_гр, где Т_гр – минимальная постоянная времени контура исходной системы).

Выводы: данная работа проделана абсолютно зря, так как в действительности линейных систем не бывает.