3. Разложение в ряд Фурье периодических функций

Если данная функция является периодической с периодом,, и для нее имеет место разложение в ряд Фурье на отрезке , то оно справедливо и на всей прямой .

Действительно, сумма тригонометрического ряда Фурье

,

если она существует, является периодической функцией с периодом , так как и периодические функции.

Аналогично, если функция имеет период, то разложение (1) имеет место для всей прямой.

Пример 3. Разложить в ряд Фурье периодическую функцию , определенную следующим образом на периоде:

Р ешение. Данная функция кусочно-дифференцируема, следовательно,

.

Изобразим график функции с ее периодическим продолжением.

Применив формулы (2) и (3), найдём коэффициенты Фурье.

,

,

.

Следовательно, разложение в ряд Фурье функции имеет вид

.

Оно справедливо во всех точках непрерывности функции.

5. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Пусть нечетная на отрезке функция, т.е. , ее ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

, (7)

где, 1, 2, 3, (8)

Если четная на отрезке функция, т.е. , ее ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

, (9)

Где , 0, 1, 2, (10)

Аналогичные формулы можно получить для функции с периодом .

Если нечетная функция, ее ряд Фурье имеет вид

, (11)

Где , 1, 2, 3, (12)

Если четная функция, ее ряд Фурье имеет вид

, (13)

Где , 0, 1, 2, 3, (14)

Задача 4

Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале .

4.01 в интервале .

4.02 в интервале .

4.03 в интервале .

4.04 в интервале .

4.05 в интервале .

4.06 в интервале .

4.07 в интервале .

4.08 в интервале .

4.09 в интервале .

4.10 в интервале .

4.11 в интервале .

4.12 в интервале .

4.13 в интервале .

4.14 в интервале .

4.15 в интервале .

4.16 в интервале .

4.17 в интервале .

4.18 в интервале .

4.19 в интервале .

4.20 в интервале .

4.21 в интервале .

4.22 в интервале .

4.23 в интервале .

4.24 в интервале .

4.25 в интервале .

16