Задача2 .

Вычислить определенный интеграл с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд. Обеспечить абсолютную погрешность:

2.01 ; 2.02 ; 2.03 ;

2.04 ; 2.05 ; 2.06 ;

2.07 ; 2.08 ; 2.09 ;

2.10 ; 2.11 ; 2.12 ;

2.13 ; 2.14 ; 2.15 ;

2.16 ; 2.17 ; 2.18 ;

2.19 ; 2.20 ; 2.21 ;

2.22 ; 2.23 ; 2.24 ;

2.25 .

Задача 3.

Найти первые три числа разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения с заданными условиями.

3.01 ; , .

3.02 ,

3.03,

3.04 ,

3.05, ,.

3.06 ,.

3.07 ,.

3.08 ; , .

3.09 ; , .

3.10 ,.

3.11 ,.

3.12 ,.

3.13 ,.

3.14 ,.

3.15 ,.

3.16 ,.

3.17 .

3.18 ; , .

3.19 ; , .

3.20,.

3.21 ; , .

3.22 , .

3.23 ; , .

3.24 ,.

3.25 ; , .

Разложение функций в тригонометрические ряды Фурье

1. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке

Определение 1. Тригонометрический ряд

, (1)

коэффициенты которого совпадают с коэффициентами Фурье для функции , т.е. вычисляются по формулам

, где 0, 1, 2, 3,, (2) , где 0, 1, 2, 3,, (3)

называются рядом Фурье функции .

Теорема 1. Если

функция кусочно-дифференцируема на отрезке , то ряд Фурье функции сходится во всех точках , причем в точках непрерывности функции его сумма равна , в точках разрыва функции его сумма равна , на концах отрезка его сумма равна .

Пример 1. Разложить функцию ,

на интервале в ряд Фурье.

Решение. Изобразим функцию графиком.

Так как функция

кусочно-дифференци-

руема на отрезке , в силу того, что ее производная

имеет лишь одну точку разрыва внутри отрезка , то ряд Фурье функции сходится к порождающей его функции во всех точках . При этом значение полученного ряда в концах интервала равно

.

Вычислим коэффициенты Фурье. По формуле (2) имеем

.

.

При вычислении интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям

.

Приняв , , откуда , .

Тогда

.

.

Окончательно имеем

.

По формуле (3) имеем

.

При вычислении интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям . Приняв , , откуда , .

Тогда

.

Окончательно имеем

.

Следовательно, функции соответствует ряд Фурье

2. Разложение в ряд Фурье функций, заданных на отрезке

Пусть функция определена на отрезке . Тогда подстановкой переходим к функции , которая определена на отрезке . Если кусочно-дифференцируема на отрезке , тогда будет кусочно-дифференцируемой на отрезке . Разлагая в ряд Фурье на отрезке функцию , получим (всюду за исключением, быть может, точек разрыва функции и концов отрезка )

, где

, 0, 1, 2,,

, 0, 1, 2,,

Переходя к переменной , имеем , и при этом соответствует , соответствует .

Окончательно,

, (4)

где

,

0, 1, 2,, (5)

,

0, 1, 2,, (6)

Таким образом, функцию , определенную на отрезке можно разложить в ряд Фурье (4), коэффициенты которого вычисляются по формулам (5), (6). Равенство (4) может нарушиться лишь в точках разрыва функции и на концах отрезка .

Пример 2. Разложить функцию на интервале в ряд Фурье.

Решение. По формуле (4) (при ) имеем

.

Вычислим коэффициенты ряда по формуле (5) и воспользовавшись формулой интегрирования по частям , где , , откуда , , получим

Вычислим коэффициенты ряда по формуле (6) и воспользовавшись формулой интегрирования по частям , где , , откуда , , получим

.

Таким образом,

для .