Билет 6,15,24

Вывести интегральный признак Коши сходимости знакоположительного числового ряда. Исследовать на сходимость ряд Дирихле.

Интегральный признак Коши.

Пусть при определена непрерывная, не возрастающая функция f(x), такая, что . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл .

Доказательство. - это площадь под графиком функции при .

Так как (сумма площадей прямоугольников) ограничивает площадь под графиком функции снизу, а ограничивает ее сверху, то .

Пример. Рассмотрим «ряды Дирихле» . Название взято в кавычки, так неизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы.

. Ясно, что интеграл сходится при p>1 и расходится при P<1. Случай p=1 рассмотрен выше (расходящийся гармонический ряд). Отсюда следует вывод

.

Интересно, что ряд , интегралы расходятся (проверьте по интегральному признаку).

Теперь становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимися рядами. Заодно накоплена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можно использовать как эталонные при сравнении рядов. Сравнивать ряды можно с помощью признаков сравнения.

Билет 7, 16

Вывести признаки сравнения знакоположительных числовых рядов.

Первый признак сравнения рядов.

Пусть выполнено неравенство . Тогда из сходимости ряда следует сходимость ряда , а из расходимости ряда следует расходимость ряда .

Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияет на сходимость и неравенство можно проверять «начиная с некоторого n». Поэтому эту фразу часто можно встретить в теоремах о рядах. Иногда ее просто опускают, но ее всегда надо иметь в виду.

Доказательство. 1) Пусть ряд сходится. Тогда выполнено неравенство . Поэтому последовательность частичных сумм ограничена сверху числом . Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса . Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве.

2) Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по п.1 доказательства и ряд сходится. Противоречие. Следовательно, ряд расходится.

Пример. Ряд расходится, так как , а ряд (гармонический) расходится.

Второй признак сравнения.

Пусть . Тогда ряды и сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.

Доказательство. Раскроем определение предела. .

.

Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения ряд сходится (, ряд сходится (свойство сходящихся рядов).

Если ряд сходится, то ряд сходится (свойство сходящихся рядов), тогда по 1 признаку сравнения ряд сходится.

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).

Пусть ряд расходится. Если ряд сходится, то по предыдущему ряд сходится (противоречие).