Метод эйлера

Метод Эйлера — наиболее простой численный метод  решения (систем) обыкновенных дифференциальных уравнений. Впервые описан Леонардом Эйлером в 1768 году в работе «Интегральное исчисление» . Метод Эйлера является явным, одношаговым методом первого порядка точности, основанном на аппроксимации интегральной кривой кусочно линейной функцией, т. н. ломаной Эйлера.

Описание метода

Пусть дана задача Коши для уравнения первого порядка

где функция f определена на некоторой области . Решение разыскивается на интервале (x₀,b]. На этом интервале введем узлы

Приближенное решение в узлах x_i, которое обозначим через y_i определяется по формуле

Эти формулы обобщаются на случай систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Оценка погрешности

Метод Эйлера является методом первого порядка. Если функция f непрерывна в D и непрерывно дифференцируема по переменной y в D, то имеет место следующая оценка погрешности

где h — средний шаг, то есть существует C > 0 такая, что .

Заметим, что условия гладкости на правую часть, гарантирующие единственность решения задачи Коши, необходимы для обоснования сходимости метода Эйлера.

Значение метода Эйлера

Метод Эйлера являлся исторически первым методом численного решения задачи Коши. О. Коши использовал этот метод для доказательства существования решения задачи Коши. Ввиду невысокой точности и вычислительной неустойчивости для практического нахождения решений задачи Коши метод Эйлера применяется редко.

Однако в виду своей простоты метод Эйлера находит свое применение в теоретических исследованиях дифференциальных уравнений, задач вариационного исчисления и ряда других математических проблем.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом

Вычисления по методу Эйлера с пересчетом делаются в два этапа.

Прогноз:

.

Коррекция:

.

Модифицированный метод Эйлера с пересчетом имеет второй порядок точности, однако для его реализации необходимо дважды вычислять правую часть функции. Заметим, что метод Эйлера с пересчетом представляет собой разновидность методов Рунге-Кутты (предиктор-корректор).

Ме́тоды Ру́нге — Кутта́ (Ме́тоды Ру́нге — Кутты́) — важное семейство численных алгоритмов решения обыкновенных дифференциальных уравненийи их систем. Данные итеративные методы явного и неявного приближённого вычисления были разработаны около 1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В. Куттой.

Формально, методом Рунге — Кутта является модифицированный и исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы второго порядка точности.

Существуют стандартные схемы третьего порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее часто используется и реализована в различных математических пакетах (MathCAD, Maxima) стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями. Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять этапов, в схему восьмого порядка входит 11 этапов. Хотя схемы девятого порядка не имеют большой практической значимости, неизвестно, сколько этапов необходимо для достижения этого порядка. Аналогичная задача существует для схем десятого и более высоких порядков.

Классический метод Рунге — Кутта 4 порядка

Метод Рунге—Кутта 4 порядка столь широко распространён, что его часто называют просто методом Рунге—Кутта.

Рассмотрим задачу Коши

.

Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по итерационной формуле:

где h — величина шага сетки по x и вычисление нового значения проходит в четыре этапа:

Этот метод имеет четвёртый порядок точности, т.е. суммарная ошибка на конечном интервале интегрирования имеет порядок O(h⁴) (ошибка на каждом шаге порядка O(h⁵)).

Прямые методы Рунге — Кутта

Семейство прямых методов Рунге — Кутта является обобщением метода Рунге — Кутта 4 порядка. Оно задаётся формулами

где h — величина шага сетки по x и вычисление нового значение проходит в s этапов:

Конкретный метод определяется числом s и коэффициентами b_i,a_ij и c_i.

Эти коэффициенты часто упорядочивают в таблицу

Для коэффициентов метода Рунге — Кутта должны быть выполнены условия  для . Если требуется, чтобы метод имел порядок p, то следует так же обеспечить условие

где  — приближение полученное по методу Рунге — Кутта. После многократного дифференцирования это условие преобразуется в систему полиномиальных уравнений на коэффициенты метода.