Аннотация:

В данной курсовой работе я использовал языки программирования Turbo Pascal и C++. Изучил методы численного дифференцирования, а именно: Метод Эйлера, модификации(усовершенствования, исправленные варианты) метода Эйлера, метод Эйлера – Коши, метод Рунге – Кутта.

Написал для поставленных передо мною задач программы, а так же начертил для них схемы алгоритмов(блок схемы).

Содержание:

1. Задание Курсовой работы.

2. Теоретические предпосылки.

3. Программа задания 1.

4. Блок схемы задания 1.

5. Результат работы программы 1.

6. Программа задания 2.

7. Блок схема задания 2.

8. Результат задания 2

9. Программа задания 3.

10. Блок схема задания 3.

11. Результат задания 3.

12. Вывод

13. Использованная литература, интернет сайты.

Вариант 11

Методы аппроксимации задач(на примере численного решения ОДУ).

1. Теоретические положения диффере5нцирования.

Вопросы аппроксимации, устойчивости сходимости на примере решения задач Коши для ОДУ.

2. Схемы алгоритмов методов:

1. Эйлера

2. Модификации метода Эйлера:

3. Эйлера – Коши

4. Рунге – Кутта.

5. Пример 1:

6. Дана функция f(x)=xe^x на отрезке [a,b]=[1,4], шаг h=0.5. Используя Формулы f’(x) и f’’(x) найти их значения в узлах x_i. Вычислить их погрешности. Сравнить с (xe^x)’ и (xe^x)’’.

7. Пример 2:

8. Составить схему алгоритма и программу для численного дифференцирования.

9. Пример 3:

10. Без ЭВМ с помощью таблицы составить численные решения следующей задачи:

11. Y=4x-1, где x€[1,2], h=0.2

12. Методами Эйлера и Рунге-Кутта составить схему алгоритмов и программы на ЭВМ.

13. Пример 4:

14. Аппроксимация краевых задач ОДУ для следующих задач:

15. Y’-3xy=а, y(0)=0, y(1)=1: на отрезке [0,1], шаг h=0.1

16. Составить разностную схему. Вычислить расчеты на ЭВМ.

Численное дифференцирование

Численное дифференцирование — совокупность методов вычисления значения производной дискретно заданной функции.

Введение

В основе численного дифференцирования лежит аппроксимация функции, от которой берется производная, интерполяционным многочленом. Все основные формулы численного дифференцирования могут быть получены при помощи первого интерполяционного многочлена Ньютона (формулы Ньютона для начала таблицы).

Основными задачами являются вычисление производной на краях таблицы и в ее середине. Для равномерной сетки формулы численного дифференцирования «в начале таблицы» можно представить в общем виде следующим образом:

где  — погрешность формулы. Здесь коэффициенты и зависят от степени n использовавшегося интерполяционного многочлена, то есть от необходимой точности (скорости сходимости к точному значению при уменьшении шага сетки) формулы. Коэффициенты представлены в таблице

n	a0	a1	a2	a3	a4	a5	b
1	− 1	1	0	0	0	0	1
2	− 3	4	− 1	0	0	0	2
3	− 11	18	− 9	2	0	0	6
4	− 25	48	− 36	16	− 3	0	12
5	− 137	300	− 300	200	− 75	12	60