Погрешность вычислений

Погрешность вычисляется по формуле

где h — шаг сетки, а точка ξ расположена где-то между i-тым и (i + n)-тым узлами.

Примером может служить известная формула (n = 2)

.

При n = 1 формула может быть получена и из определения производной. Эта формула известна под названием формулы дифференцирования вперед.

Формулы «в конце таблицы» могут быть представлены в общем виде

в которых коэффициенты берутся из уже приведенной таблицы. В частности, при n = 1 получается известная формула дифференцирования назад.

1. Аппроксимация функций

Пусть требуется аппроксимировать функцию заданную таблично, в точках x_i, ее значения в этих точках обозначим y_i.Основная идея метода наименьших квадратов – построить функцию , – вектор параметров, проходящую наиболее близко к заданной системе точек, не проходящую в общем случае через узлы таблицы, а именно, так чтобы сумма квадратов отклонений таблично заданной функции от искомой функции в узлах была минимальной. Для этого вводят критерий метода, следующим образом:

наименьший квадрат алгоритм mathcad

(2.32)

т.е. значение среднеквадратического отклонения должно быть минимальным.

Параметры подбирают так, чтобы выполнялся критерий.

Чаще всего используются 2–3 параметрические функции, следующих семейств:

, , , ,

дробно-линейная,

логарифмическая,

обратно-пропорциональная,

дробно-рациональная,

где a, b, c – параметры

Рассмотрим линейную задачу наименьших квадратов. Если аппроксимирующую функцию требуется найти в виде обобщенного многочлена

(2.33)

где – – некоторые базисные функции, то такая аппроксимация называется линейной.

Чтобы получить окончательный вид аппроксимирующего многочлена (2.33), нужно найти коэффициенты , выбрать вид базисных функций и определить степень обобщенного многочлена m так, чтобы среднеквадратическая погрешность (2.32) была наименьшей. При выборе степени следует руководствоваться тем, что значение среднеквадратичного отклонения (обозначим как ) с ростом степени m сначала убывает, а затем начинает возрастать. Отсюда правило выбора: за оптимальное значение степени многочлена следует принять то значение m, начиная с которого величина стабилизируется или начинает возрастать.

Применение степенных базисных функций

Очень часто для приближения по методу наименьших квадратов используются алгебраические многочлены степени mn, т.е. k=0..m. В этом случае обобщенный многочлен (2.33) имеет вид

, а коэффициенты , исходя из критерия (2.32), ищутся из системы следующего вида:

(k= 0,1,…, m).

(2.34)

или в развернутом виде:

(2.35)

В случае многочлена первой степени P₁(x)=c₀+c₁x, эта система принимает вид

(2.36)

Для многочлена второй степени P₂(x)=c₀+c₁x+c₂x²:

(2.37)