2.1. Числа Фібоначчі

Розглянемо числовий ряд, в якому кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх. Ця числова послідовність носить назву чисел Фібоначчі: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040, …

Цей ряд був відомий ще в Стародавній Індії задовго до Фібоначчі. Свою нинішню назву числа Фібоначчі отримали завдяки дослідженню властивостей цих чисел, проведеним вченим у його праці «Книга абака» (1202).

У XIII столітті італійський математик Фібоначчі розв’язав таку задачу:

У фермера пара кроликів приносить раз на місяць приріст з двох кроленят (самця та самки), причому новонароджені кроленята через два місяці після народження вже приносять приріст. Скільки кроликів з’явиться через рік, якщо на початку року була лише одна пара кроликів?

Очевидно, що першого та другого місяця у фермера залишається одна пара кроликів, оскільки потомства ще немає. На третій місяць буде дві пари кроликів, оскільки перша через два місяці народить другу пару кроликів. На четвертий місяць перша пара кроликів дасть ще одну, а друга – потомства не дасть, оскільки їй ще тільки один місяць. Отже на четвертий місяць буде три пари кроликів.

Можна помітити, що кількість кроликів після n – го місяця дорівнює кількості кроликів, які були у n – 1 місяці плюс кількість народжених кроликів. Останніх буде стільки, скільки є кроликів що дають потомство, або дорівнює кількості кроликів, яким вже виповнилося 2 місяці (тобто кількості кроликів після n – 2 місяця).

Якщо через F_n позначити кількість кроликів після n - го місяця, то має місце наступне рекурентне співвідношення:

F_n = F_n-1 + F_n-2, F₁ = F₂ = 1 (1)

Покладемо F₀ = 0, при цьому співвідношення при n = 2 залишиться істинним. Таким чином утворюється послідовність

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... ,

Формулювання та розв’язок знаменитої задачі про кроликів вважається основним вкладом Фібоначчі в розвиток комбінаторики. Саме завдяки цій задачі Леонардо Пізанський передбачив метод рекурентних співвідношень, який вважається одним із найбільш вживаних методів розв’язання комбінаторних задач. Рекурентна формула (1), отримана Фібоначчі при розв’язанні цієї здачі, вважається першою в історії математики рекурентною формулою.

Перейдемо тепер від кроликів до чисел і розглянемо числову послідовність

в якій кожен наступний член послідовності дорівнює сумі двох попередніх, тобто при n > 2

_{Властивості чисел Фібоначчі}

1. Обчислимо спочатку суму перших n чисел Фібоначчі.

Доведемо, що

. (2)

Справді, ми маємо:

,

,

,

..................

,

.

Додаючи всі ці рівності, одержимо

,

і нам залишається згадати, що .

2. Сума чисел Фибоначчи з непарними номерами:

. (3)

Для доведення цієї рівності напишемо

,

,

,

..................

.

Додавши ці рівності почленно, ми й одержимо необхідне.

3. Сума чисел Фібоначчі з парними номерами:

. (4)

На підставі послідовності 2 ми маємо

;

віднявши почленно з цієї рівності рівність (3) , ми одержимо

.

Віднімаючи, далі, почленно (4) від (3), одержуємо

. (5)

Додамо тепер до обох частин (5) по :

. (6) Поєднуючи (5) і (6), одержуємо вираз для знакозмінної суми чисел Фібоначчі:

. (6)

4. Формули (2) і (3) були виведені за допомогою почленного додавання цілої серії очевидних рівностей. Ще одним прикладом застосування цього прийому може служити виведення формули для суми квадратів перших n чисел Фібоначчі:

. (7)

Зауважимо для цього

.

Склавши рівності

,

,

,

........................

почленно, ми одержуємо формулу (7).