4.2. Эпюр № 2. Отображение геометрических тел

А. Комбинированные геометрические тела

Цель задания. Приобретение практических навыков построения линий пересечения поверхностей цилиндров, конусов и сфер плоскостями частного положения.

Объем и содержание задания. Объем – два листа чертежной бумаги формата А3. Содержание – четыре задачи (по две задачи на каждом листе).

Задача 1. Построить три проекции детали, конфигурация которой включает в себя поверхности цилиндра, конуса и сферы и линии пересечения их гранями вырезов.

Задача 2. Построить натуральную величину сечения детали плоскостью, задаваемой преподавателем.

Задача 3. Построить наглядное (аксонометрическое) изображение детали.

Задача 4. Построить развертку боковой поверхности конической поверхности с фигурой выреза.

Примечание. Для удобства построений в каждом варианте даны координаты (Х, Z) центра сферы «0». За начало координат принят нижний левый угол листа. Варианты заданий приведены на с. 16–21.

Варианты исходных данных к эпюру № 2А (комбинированные геометрические тела)

Варианты исходных данных к эпюру № 2А (комбинированные геометрические тела)

Варианты исходных данных к эпюру № 2А (комбинированные геометрические тела)

Варианты исходных данных к эпюру № 2А (комбинированные геометрические тела)

Варианты исходных данных к эпюру № 2А (комбинированные геометрические тела)

Варианты исходных данных к эпюру № 2А (комбинированные геометрические тела)

Пример решения задач в эпюре № 2А

Геометрическим телом называют любую замкнутую область пространства вместе с ее границей (поверхностью), заполненную условным или конкретным материалом.

Для формирования конфигурации проектируемых изделий конструктор использует как свойства реальных тел (например, их способность сопротивляться воздействию на них внешних сил), так и ограничивающие их поверхности (например, способы их образования, характер их взаимодействия с внешними средами). Чем лучше знаком конструктор с поверхностями и их свойствами, тем большую свободу приобретает он в своем творчестве при проектировании изделий.

Для формообразования изделий широко используют цилиндр, конус, сферу и тор.

Уметь строить изображения основных геометрических тел в любом их положении относительно плоскостей проекций, строить их плоские сечения, наносить на их поверхности точки и линии, строить линии их взаимного пересечения – необходимые условия успешного изучения курса графических дисциплин. Данное задание как раз и служит этой цели.

На рис. 5 и 6 приведен пример выполнения эпюра № 2А. Исходные данные являются фронтальной проекцией комбинированного геометрического тела, состоящего из цилиндра, конуса и шара с призматическими вырезами в них. Необходимо выполнить все четыре задачи, указанные в задании.

В задаче 1 для построения горизонтальной и профильной проекции геометрического тела использовался метод вспомогательных секущих плоскостей посредников. Характерные (опорные) точки и ряд промежуточных, через которые проходят эти плоскости, отмечены на фронтальной проекции, так как грани вырезов образованы фронтально проецирующими плоскостями. Подробное описание построения, если оно не понятно из рисунка, можно найти в методических указаниях [7, 8], приведенных в списке литературы настоящего пособия.

В задаче 2 (построение натуральной фигуры сечения) использовался метод замены плоскостей проекций. Можно было использовать также метод плоскопараллельного перемещения, расположив горизонтальную проекцию фигуры сечения параллельно фронтальной плоскости проекций.

Задачи 3 и 4 рекомендуется выполнять после изучения соответствующих тем.

Задание выполняется простым карандашом, вначале – тонкими линиями, а затем, после проверки преподавателем, основными и другими необходимыми линиями. Для облегчения зрительного восприятия детали ее изображения подкрашиваются цветными карандашами или отмывкой акварельными красками бледного тона (каждая поверхность в свой цвет, например: сфера – в голубой, цилиндр – в зеленый, конус – в желтый).

Б. Наклонные тела с основанием в плоскости проекций

Задача 1. Построить три проекции наклонного геометрического тела с вырезом, определив видимость его поверхностей.

Задача 2. Построить фигуру сечения данного геометрического тела в натуральную величину проецирующей плоскостью (след плоскости задан точками M и N).

Координаты точки О для всех вариантов отсчитывать от левого нижнего угла рамки чертежа: по горизонтали – 215; по вертикали – 150.

Примечание: S – вершина поверхности;

O', O'' – центры оснований поверхностей;

R_осн – радиус окружности основания;

1, 2, 3, 4 – точки, образующие проекцию выреза;

A, B, C, D, A', B', C', D' – точки оснований многогранников.

1, 5, 9, 11, 13, 18 варианты – конус;

2, 6, 10, 14 варианты – цилиндр;

3, 7, 15, 17 варианты – пирамида;

4, 8, 12, 16 варианты – призма.

Задание выполняется на чертежной бумаге формата А3 по индивидуальным вариантам. Исходные данные приведены в табл. 2. Графическое оформление должно соответствовать требованиям стандартов ЕСКД.

Т а б л и ц а 2

Координаты точек к эпюру № 2Б

	2 вариант			6 вариант			10 вариант			14 вариант
	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z
O'	63	95	110	150	120	90	124	95	120	61	115	82
O"	140	45	0	50	0	50	45	50	0	150	0	35
1	123	?	75	88	88	?	65	?	84	149	46	?
2	50	?	95	145	100	?	140	?	107	122	5	?
3	105	?	15	70	9	?	73	?	5	47	100	?
4	147	?	40	48	40	?	32	?	33	112	95	?
M	185	50	0	165	0	45	180	83	0	190	0	52
N	15	72	0	5	0	72	5	55	0	15	0	75
Rосн	35

П р о д о л же н и е т а б л. 2

	1 вариант			5 вариант			9 вариант			11 вариант			13 вариант			18 вариант
	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z
S	175	135	100	175	125	0	15	50	100	40	90	130	25	110	0	50	10	125
O'	83	45	0	65	0	76	140	95	0	138	0	46	128	0	85	145	95	0
1	126	?	62	104	65	?	135	?	27	147	20	?	135	26	?	105	?	74
2	145	?	53	142	80	?	117	?	6	108	9	?	91	5	?	75	?	85
3	114	?	5	90	10	?	50	?	68	65	60	?	55	63	?	110	?	25
4	83	?	30	68	36	?	75	?	64	97	54	?	93	58	?	175	?	9
M	185	105	0	145	0	0	165	145	0	185	0	62	185	0	90	190	90	0
N	30	35	0	30	0	118	25	30	0	10	0	100	20	0	24	30	30	0
Rосн	40

	4 вариант			8 вариант			12 вариант			16 вариант
	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z
A	85	22	0	180	0	19	183	93	10	67	0	7
B	69	4	0	165	0	0	170	72	8	51	4	45
C	22	22	0	157	0	63	143	118	5	4	15	54
D	40	75	0	120	0	10	116	78	0	19	12	0
A'	182	74	100	87	110	88	98	26	126	162	90	90
B'	165	78	100	72	110	69	85	4	124	146	94	128
C'	118	96	100	64	110	131	58	52	121	99	105	137
D'	136	149	100	27	110	79	31	12	117	112	101	83
1	65	?	49	155	30	?	115	?	103	80	87	?
2	88	?	17	123	12	?	47	?	110	150	86	?
3	160	?	99	53	95	?	125	?	15	63	10	?
4	100	?	89	110	83	?	154	?	50	37	46	?
M	125	20	0	190	0	20	200	90	0	160	0	80
N	15	60	0	30	0	70	30	55	0	0	0	30

О к о н ч а н и е т а б л. 2

	3 вариант			7 вариант			15 вариант			17 вариант
	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z	X	Y	Z
S	160	123	105	25	120	113	25	95	110	135	110	0
A	105	38	0	174	24	55	160	15	12	55	0	105
B	67	12	0	121	7	47	131	75	8	5	0	85
C	42	78	0	150	16	9	106	15	4	45	0	25
D	19	35	0	100	0	0	80	49	0	80	0	25
1	102	?	62	132	51	?	84	?	68	75	59	?
2	135	?	70	105	15	?	50	?	75	110	70	?
3	91	?	5	55	80	?	95	?	10	70	10	?
4	57	?	30	90	79	?	130	?	35	40	29	?
M	10	30	0	180	0	40	175	25	0	135	0	10
N	145	80	0	30	0	60	15	85	0	0	0	95

Пример решения задач в эпюре № 2Б

Рассмотрим построение наклонного конуса с вырезом (рис. 7).

Грани выреза образованы фронтально проецирующими плоскостями, поэтому отмечаем ряд характерных и промежуточных точек выреза именно на фронтальной проекции конуса. Так как эти точки принадлежат поверхности конуса, то для построения их горизонтальных проекций проведем через них образующие конуса. Построив горизонтальные проекции образующих, найдем на них в проекционной связи горизонтальные проекции всех отмеченных точек. Соединим определенные таким образом точки плавными кривыми линиями с учетом видимости.

Промежуточных точек между точками 2 и 3 не было смысла брать, так как все они будут находиться на одной и той же образующей. Поэтому на горизонтальной проекции точки 2 и 3 нужно соединить прямыми линиями.

Построение фигуры сечения выполним с помощью замены плоскостей проекций на свободном месте листа. Не рекомендуется располагать фигуру сечения с поворотом. Поворот затрудняет как построение сечения, так и чтение его. Построение третьей проекции ясно из чертежа.

В. Наклонные тела с основанием в плоскости общего положения

Задача. В плоскости, заданной тремя точками, построить одну из указанных в варианте фигур: окружность, прямоугольник, параллелограмм или треугольник. Принимая эти фигуры за основания, построить одно из геометрических тел с вырезом: цилиндр вращения, конус вращения, призму или пирамиду определённой высоты в двух проекциях, а также натуральную величину фигуры сечения их плоскостью частного положения.

Для вариантов 1…6 (табл. 3) построить:

1) прямой круговой конус высотой h, окружность основания которого радиусом R находится в плоскости, определяемой тремя точками О, E, F;

2. недостающую проекцию сквозного выреза, образованного гранями призмы, рёбра которой являются горизонтально или фронтально проецирующими прямыми (обозначены римскими цифрами);

3. натуральную величину фигуры сечения конуса проецирующей плоскостью (след плоскости задан точками M и N).

Для вариантов 7…12 (табл. 4) построить:

1. прямую призму высотой h, основание DEFL которой находится в плоскости, определяемой его полудиагоналями OD и OF;

2. недостающую проекцию сквозного выреза, образованного либо гранями призмы, рёбра которой являются горизонтально или фронтально проецирующими прямыми (обозначены римскими цифрами), либо прямым круговым цилиндром, заданным положением его оси I и радиусом окружности основания R;

3. натуральную величину фигуры сечения призмы проецирующей плоскостью (след плоскости задан точками M и N).

Для вариантов 13…18 (табл. 5) построить:

1. прямой круговой цилиндр высотой h, окружность основания которого радиусом R находится в плоскости, определяемой точками O,D,F;

2. недостающую проекцию сквозного выреза, образованного гранями призмы, ребра которой являются горизонтально или фронтально проецирующими прямыми (обозначены римскими цифрами);

3. натуральную величину фигуры сечения цилиндра с вырезом проецирующей плоскостью (след плоскости задан точками М и N).

Для вариантов 19…24 (табл. 6) построить:

1. пирамиду высотой h, основание которой находится в плоскости, определяемой точками О, D, F:

– для варианта 19 основание – четырёхугольник с диагоналями СD = 82 мм по горизонтали и EF = 90 мм по фронтали, высота – из центра тяжести, точка О – середина диагоналей;

– для варианта 20 основание – равносторонний треугольник (длина сторон 80 мм), сторона АС – на горизонтали, высота – из точки О;

– для варианта 21 основание – квадрат со стороной ОА = 70 мм на прямой ОD, высота из центра тяжести;

– для варианта 22 основание – прямоугольник, одна сторона ОD которого равна 60 мм, а смежная с ней сторона равна 70 мм, высота – из центра тяжести;

– для варианта 23 основание – треугольник, у которого сторона АD расположена на прямой ОD, а сторона DВ – на прямой DF (длины сторон равны 80 мм), высота – из точки О;

– для варианта 24 основание – равносторонний треугольник (длина сторон 80 мм), сторона АD – на прямой ОD, высота – из центра тяжести треугольника;

2) недостающую проекцию сквозного выреза, образованного либо гранями призмы, рёбра которой являются горизонтально или фронтально проецирующими прямыми (обозначены римскими цифрами), либо прямым круговым цилиндром, заданным положением его оси I и радиусом окружности основания R;

3) натуральную величину фигуры сечения пирамиды проецирующей плоскостью (след плоскости задан точками М и N).

Т а б л и ц а 3

Координаты точек и размеры величин, мм

Номер варианта	О	E	F	M	N	I	II	III	IV	h	R
	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z
1	50,45,37	75,2,37	70,45,15	163,86,?	0,57,?	92,?,117	135,?,98	80,?,86	45,?,90	175	40
2	118,70, 92	100,116,92	152,70,22	135,?, 130	20,?,25	96,74,?	57,32,?	18,48,?	37,93,?	140	37
3	50,48,86	0,80,86	100,48,122	120,112,?	5,52,?	45,?,82	58,?,52	107,?,32	107,?,82	130	40
4	30,62,77	30,10,77	0,62,20	140,?,33	0,?,58	125,65,?	77,40,?	46,98,?	105,78,?	140	40
5	117,58,50	117,5,50	160,58,115	150,?,108	0,?,66	108,102,?	122,85,?	82,39,?	41,67,?	140	50
6	126,53,42	126,5, 42	170,53,113	40,?,48	145,?, 88	92,82,?	120,60,?	120,30,?	43,44,?	150	40

Т а б л и ц а 4

Координаты точек и размеры величин, мм

Номер варианта

О

D

F

M

N

I

II

III

IV

h

I

R

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

7

30,34, 77

50,5,77

46,34, 113

15,?,28

130, ?, 88

55,122,?

90, 74, ?

53, 47, ?

18, 95, ?

100

–

–

8

28, 27, 65

50, 5, 65

14, 27, 32

123,?, 75

38, ?, 12

–

–

–

–

160

82, 107, ?

25

9

25, 94, 79

35,125,79

38,94,107

135,100,?

20, 45, ?

65, ?, 42

122, ?, 75

45, ?, 112

–

110

–

–

10

30, 94, 72

54,132,72

43, 94, 96

150, 94,?

15, 40, ?

121, ?, 72

82, ?, 92

37, ?, 49

76, ?, 30

100

–

–

11

130,78,93

144,45,93

149,78,60

135,113,?

20, 13, ?

–

–

–

–

120

78, ?, 90

30

12

30, 34, 87

51, 6, 87

45,34, 117

130,117,?

35, 10, ?

–

–

–

–

118

78, ?, 68

25

Т а б л и ц а 5

Координаты точек и размеры величин, мм

Номер варианта	О	D	F	M	N	I	II	III	IV	h	R
	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z	X, Y, Z
13	40, 38, 26	16, 38, 45	25, 67, 26	140, ?, 85	0, ?, 46	97, 38, ?	36, 50, ?	48, 92, ?	–	110	32
14	50, 35, 35	27, 35, 57	33, 2, 35	165,?, 105	19, ?, 60	110, 45, ?	82, 28, ?	49, 85, ?	77, 102, ?	110	32,5
15	30,105, 83	43,105, 108	13, 82, 83	150, ?, 85	30, ?, 33	110, 60, ?	74, 123, ?	52, 60, ?	–	130	27,5
16	30, 30, 85	47, 30, 107	10, 50, 85	140,102,?	20, 64, ?	107, ?, 60	70, ?, 30	60, ?, 37	53, ?, 97	120	27,5
17	50, 45, 37	75, 2, 37	70, 45, 15	135, ?, 43	30, ?, 97	79, 105, ?	112, 48, ?	47, 86, ?	–	105	40
18	35, 36, 36	14, 36, 65	15, 65, 36	120, 34, ?	15, 75, ?	82, ?, 123	70, ?, 47	38, ?, 67	–	112	35

Т а б л и ц а 6

Координаты точек и размеры величин, мм

Номер варианта

О

D

F

M

N

I

II

III

IV

h

I

R

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

X, Y, Z

24

19

100,77,93

116,40,93

130,77,60

135, 37, ?

20, 74, ?

–

–

–

–

140

62, ?, 70

20

30, 34, 87

50, 7, 87

45,34,120

110, ?, 32

25, ?, 126

–

–

–

–

170

70, 75, ?

25

21

30, 45, 32

55, 85, 32

43, 45, 56

140, ?, 3

40, ?, 80

150, 35, ?

128, 85, ?

74, 35, ?

–

120

–

–

22

5, 25, 80

16, 61, 80

26, 25, 98

130, 40, ?

17, 13, ?

135, ?, 93

40, ?, 93

60, ?, 57

–

140

–

–

23

30, 33, 57

50, 5, 57

46, 33, 93

110,103,?

25, 28, ?

–

–

–

–

130

57, ?, 72

25

24

107,58,92

120,25,92

125,58,60

125, 95, ?

30, 17, ?

–

–

–

–

140

80, ?, 50

25

Пример решения задачи в эпюре № 2В

Задана плоскость треугольником DBC (рис. 8). Построить пирамиду высотой 100 мм, приняв этот треугольник за основание. Высоту пирамиды отсчитывать от центра тяжести основания. Вырез в пирамиде образован цилиндром радиусом 35 мм, ось цилиндра – фронтально проецирующая прямая.

Построить три проекции пирамиды с вырезом и фигуру сечения ее горизонтально проецирующей плоскостью (след плоскости задан точками M и N).

Определим центр тяжести треугольника DBC, для чего проведем медианы из любых двух его вершин, например, из B и D. Центр тяжести треугольника будет в точке О пересечения двух медиан. Из точки О восстановим перпендикуляр к плоскости основания пирамиды. Его горизонтальная проекция должна быть перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости (у нас сторона треугольника DC как раз является горизонталью), а фронтальная проекция – перпендикулярна фронтальной проекции фронтали (проведем фронталь, например, через точку B – BL). Для определения вершины пирамиды, на проведенном перпендикуляре отметим произвольную точку Е. Методом вращения переведем отрезок перпендикуляра ОЕ в частное положение. Тогда расстояние О₂Е′₂ будет натуральной величиной отрезка ОЕ перпендикуляра. Теперь мы можем от точки О₂ отложить по направлению О₂Е′₂ отрезок 100 мм, обозначив его конец точкой S′₂. Фронтальная проекция вершины пирамиды S₂ будет находиться в пересечении горизонтали, проведенной через S′₂, с фронтальной проекцией продолженного перпендикуляра ОЕ. По определенной таким образом фронтальной проекции вершины S₂ пирамиды найдем ее горизонтальную проекцию S₁, проводя линию связи из S₂ до пересечения с продолженной линией О₁Е₁ от точки О₁. Для построения линии пересечения цилиндрической поверхности выреза с боковыми гранями пирамиды отметим ряд точек на окружности (проекции цилиндра на П₂) – точки 1, 2, 3, …, 12. Свяжем эти точки с лежащими на гранях пирамиды линиями (здесь удобнее всего с линиями, проходящими через вершину). В пересечении горизонтальных проекций этих линий с линиями связи, проведенными из точек 1, 2, 3, …, 12 на П₂ , найдем их горизонтальные проекции. Соединим построенные точки плавными кривыми линиями.