курсовая работа / Курсовая_ТАУ / ТАУ_Курс_04
.pdf
Анализ и синтез САУ
6.1. Структурная схема системы.
В качестве примера рассмотрим анализ и синтез системы автоматического управления положением электропривода (САУ ПЭ). В соответствии с функциональной схемой (рисунок 2), таблицей 3 и передаточными функциями (10), (13), (15) структурная схема САУ ПЭ имеет вид
Рисунок 3. Структурная схема САУ ПЭ
Получим передаточные функции рассматриваемой схемы. Пусть передаточные функции управляющих (корректирующих) устройств представляют собой усилительные звенья (П-регулятора).
WУϕ ( р) = |
U Зω ( р) |
= Kϕ |
WУω ( р) = |
UУ ( р) |
= KC |
(17) |
|
eϕ( p) |
ew(P) |
||||||
|
|
|
|
|
Рассмотрим в начале внутренний контур системы. Передаточная функция прямой цепи внутреннего контура.
WC ( p) = |
w( p) |
= |
KC K n K ДВ |
(18) |
|
ew( p) |
(Тn p +1)(TM p +1) |
||||
|
|
|
Обозначим через К1=КсКnКдв – коэффициент передачи внутреннего контура. Передаточная функция замкнутого внутреннего контура.
ФС ( р) = |
w( р) |
= |
|
WC ( p) |
= |
|
|
K1 |
|
|
|
(19) |
||||
U |
ЗС |
( р) |
|
1+ K |
ДС |
W ( p) |
T T |
p2 +(T |
+T ) p +(1+ K |
ДС |
K |
) |
||||
|
|
|
|
|
|
C |
|
n M |
n |
M |
1 |
|
|
|||
Характеристическое уравнение внутреннего контура.
TnTM p 2 + (Tn +TM ) p + (1 + K ДС K1 ) = 0 |
(20) |
Значения параметров Tn ,Tм ,Кдс (20) заданы в таблице 2. Значение параметра К1 должно быть определено при расчете САР ПЭ. Если это не выполнено , то предварительно параметр К1 выбирается из условия обеспечения требуемого времени переходного процесса tn (Таблица 1) и отсутствия колебаний переходного процесса по скорости w(t). Для обеспечения этих требований необходимо, чтобы корни ŋ1,2 характеристического уравнения (20) были вещественными , отрицательными и минимальное значение корня
|ŋ1,2|min ≥3 / tn |
(21) |
С учетом передаточной функции (19) структурная схема системы (Рисунок 3) будет иметь следующий вид
Рисунок 4. Структурная схема САУ ПЭ.
Передаточная функция разомкнутой системы (Рисунок 4) с учетом (19) равна
Wϕ ( p) = |
Uϕ ( p) |
= |
Kϕ K1K p K ДП |
(22) |
|
р[TnTM p2 +(Tn +TM ) p +(1+ K ДС K1 )] |
|||
U3ϕ ( p) |
Введём обозначение К= Kϕ K1K p K ДП - коэффициент передачи САУ ПЭ. Передаточная
функция замкнутой САУ ПЭ по отношению к входному задающему воздействию
Фϕ ( р) = |
|
ϕ( р) |
= |
Kϕ K1 K p |
(23) |
|
U 3ϕ ( p) |
TnTM p3 + (Tn +TM ) p 2 + (1 + K ДС K1 ) p + K |
|||||
|
|
|
||||
Характеристическое уравнение САУ ПЭ |
|
|||||
TnTM p3 |
+ (Tn +TM ) p 2 + (1 + K ДС K1 ) p + K = 0 |
(24) |
||||
6.3. Выбор коэффициента передачи системы, обеспечивающего устойчивость системы.
Численные значения параметров Тn, Тм, К1,Кдс известны. Значение коэффициента передачи системы К известно. Если воспользоваться критерием устойчивости Гурвица, то можно определить при каком значении К система устойчива, не устойчива, находится на границе устойчивости. Значение К, при котором система находится на границе устойчивости, называется критическим Ккрит.
Характеристическое уравнение системы (24) третьего порядка. По критерию устойчивости Гурвица для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты характеристического уравнения (24) были положительны
Тn ТМ > 0, |
(Tn TM )>0, (1 + K1 K ДС )> 0, K > 0 |
и произведение средних коэффициентов было больше произведения крайних
(Тn TM ) (1 + K1 K ДС )>Tn TM K (25)
Система будет находиться на границе устойчивости, если вместо неравенства в (25) будет равенство. Отсюда критическое значение коэффициента усиления системы
ККРИТ |
= |
(0,01 + 0,02)(1 + 2,0) |
= 450 |
|
0,01 0,02 |
||||
|
|
|
При К > Ккр система будет неустойчива, при К < Ккр система будет устойчива. Выбором величины К=Кφ·К1·КДП обеспечиваем устойчивость САУ ПЭ. Обычно выбирают двукратный запас устойчивости, принимая К=1/2 Ккрит.
6.4.Обеспечение точности отслеживания входного сигнала
Пусть на вход системы подаётся линейный сигнал U3φ(t) со скоростью изме-
нения
U&3ϕ (t) = wВХ = wн Кр |
(27) |
где wн – номинальное значение скорости вращения выходного вала электродвигате-
ля w = ~ , К – коэффициент передачи редуктора.
н n nн / 30 р
Система должна произвести отслеживание этого сигнала с определённой точностью ε, которая задана в техническом задании (таблица 1). Оценим точность отслеживания ε при К = Ккрит и К = ½ Ккр.ъ
Передаточная функция замкнутой САУ ПЭ по отношению к ошибке
Фε ( p) = |
ϕ( p) |
= |
1 |
= |
p[Tn TM p 2 + (Tn +TM )p + (1 + K1 K ДС )] |
(28) |
|
|
|
|
p[Tn TM p 2 + (Tn +TM ) p + (1 + K1 K ДС )]+ К |
||||
lϕ ( p) |
|
1 +Wϕ ( p) |
|||||
где Wφ(p) – передаточная функция разомкнутой системы Точность (ошибка) отслеживания входного сигнала
ε(t) =C0 U 3ε (t) + C1 U 3ϕ (t)
где коэффициент ошибок
C0 =ФЕ ( р) |
|
Р=0 , |
С1 |
= |
dФЕ ( р) |
|
P=0 |
|
|
||||||
|
dp |
||||||
С учётом (27) ÷ (30) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
(22).
определяется по формуле
(29)
(30)
ε(t) = 0 U 3ϕ (t) + |
w |
ВХ |
= |
wН |
Кр |
(31) |
К |
К |
|
||||
|
|
|
|
|||
Выражение (31) показывает, что чем больше коэффициент передачи системы, тем меньше ошибка (выше точность системы).
Пусть nn=1000 об/мин, Кр=1/50, К=Ккр=450, тогда
ε& = 3,14 1000 57,3 = 0,23 град 30 50 450
При К = 1/Ккр точность системы будет в два раза выше. Выбором величины К добиваются требуемой точности отслеживания входного сигнала, не забывая и о запасе устойчивости.
6.5. Анализ свойств системы в частотной области Рассмотрим свойства САУ ПЭ и частотной области. Построим амплитудно-
частотную (АЧХ) и фазо-частотную (ФЧХ) характеристики разомкнутой системы при выбранном коэффициенте передачи системы.
Передаточная функция разомкнутой системы определяется (22)
Wϕ ( p) = |
Uϕ ( p) |
= |
2K КР |
(32) |
|
р[Тn TM p 2 + (Tn +TM ) p + (1 + K1 K ДС )] |
|||
U 3ϕ ( p) |
Разделим числитель и знаменатель выражения (32) на (1+Ккр·КДС), подставим численные значения параметров и преобразуем выражение в квадратных скобках к стандартному виду колебательного звена. В результате получим
Wϕ ( p) = |
Uϕ ( p) |
= |
K / 2 |
(33) |
|
U 3ϕ ( p) |
p(T 2 p 2 + 2ξ T p +1) |
||||
|
|
|
Подставив в (33) |
р = jw, получим частотную передаточную функцию |
|
||||||||||
Wϕ ( jw) = |
Uϕ ( jw) |
= |
K / 2 |
|
(34) |
|||||||
U 3ϕ ( jw) |
jw(T 2 ( jw)2 + 2ξ T jw +1) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) системы равна |
|
|||||||||||
А(w) = |
|
Wϕ ( jw) |
|
|
|
K / 2 |
(35) |
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
= w (1 −T 2 w2 )2 + 4ξ 2T 2 w2 |
||||||||||
|
|
|
||||||||||
Фазо-частотная (ФЧХ) характеристика системы равна |
|
|||||||||||
ψ(w) = argWϕ ( jw) = −900 − arctg |
2ξ T w |
|
(36) |
|||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 −T 2 w2 |
|
||||
Задаваясь значением w от 0 до ∞ получим АЧХ и ФЧХ системы Расчёты сведём в таблицу 4.
|
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
|
|
|
|
|
|
w, c-1 |
1-T2w2 |
2ξTw |
A(w) |
20lgA(w) |
arctg 2ξTw/1-T2w2 |
ψ, град |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Располагая данными таблицы 4, получим логарифмические частотные характеристики
L(w) = 20 lg A(w), φ(w)=ψ(w) (37)
По данным таблицы 4 построим амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) системы (рисунок 5).
Рисунок 5. АФЧХ системы По виду АФЧХ системы (рисунок 5), используя критерий устойчивости Найк-
виста, необходимо оценить устойчивость системы. Определить, как будет выглядеть АФЧХ при К = Ккр , К< Ккр , К>Ккр , как при этом будет изменяться запас устойчивости и точность системы. Сделайте выводы.
По данным таблицы 4 можно построить логарифмические частотные характеристики. Для этого по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе частот, а по оси ординат амплитуда в децибелах (20 lg A(w)) и сдвиг по фазе (ψ(w)) в градусах (рисунок 6)
Рисунок 6. Логарифмические частотные характеристики системы Существует методика приближённого построения логарифмической ампли-
тудно-частотной характеристики. Пусть задана передаточная функция (33). Для приближённого построения ЛАЧХ выделим типовые звенья
W1(p) = K |
- безинерционное звено (наклон – 0 дб/дек ) |
W2(p) = 1/p |
- интегрирующее звено (наклон – 20 дб/дек) |
W3(p) = 1/T2p2+2ξTp+1 - колебательное звено (наклон – 40 дб/дек ) Определим для третьего звена частоту сопряжения асимптот w03 = 1/T. Коэффициент усиления системы в децибелах
L(w) = 20 lgK |
(38) |
Откладываем по оси ординат 20 lg K. Через полученную точку проводим линию с наклоном -20 дб/дек. Этот наклон определяет интегрирующее звено. На рисунке 6 это штриховая линия. На оси частот откладываем частоту w03 = 1/T . Проводим через полученную точку перпендикуляр до пересечения с линией, проведённой с наклоном -20 дб/дек. Через точку пересечения этих линий проводим линию с наклоном (-20 дб/дек) + (-40 дб/дек) = -60 дб/дек. Наклон 40дб/дек определяет колебательное звено.
По виду логарифмических частотных характеристик (рисунок 6) необходимо оценить устойчивость системы, запас устойчивости по амплитуде (l децибел), запас устойчивости по фазе (µ град), полосу пропускания системы, время переходного процесса системы tп = 3П/wc. Сравните полученные результаты с требованием технического задания (таблица 1) и сделайте выводы.
6.6. Синтез управляющего корректирующего устройства При анализе устойчивости и качества САУ ПЭ в качестве управляющего (кор-
ректирующего) устройства использовалась усилительное звено Wyφ = Kφ. Пусть САУ ПЭ (рисунок 4) не удовлетворяет заданным требованиям по качеству управления (таблица 1). Требуется произвести синтез такого управляющего устройства системы Wyφ(p), которое обеспечивало бы заданные требования технического задания (таблица 1) по качеству управления.
Существует несколько конструктивных методов синтеза управляющих устройств /1÷ 4/. Воспользуемся наиболее простым и наглядным методом логарифмических частотных характеристик. Суть метода заключается в следующем. Пусть построена исходная ЛАЧХ системы, не удовлетворяющая заданным требованиям (рисунок 6). Строится желаемая ЛАФЧХ системы, удовлетворяющая всем требованиям технического задания. Затем из ординат желаемой ЛАЧХ вычитаются ординаты исходной располагаемой ЛАЧХ при одинаковых частотах. В результате получаем
ЛАЧХ управляющего устройства, получаем передаточную функцию и принципиальную схему устройства.
Перенесём ЛАЧХ Lис(w) исходной системы с рисунка 6 на рисунок 7.
На рисунке 7 построим желаемую ЛАЧХ Lж(w). При выборе желаемой ЛАЧХ необходимо, чтобы она удовлетворяла заданным требованиям и на каждом из частотных участков возможно меньше отличалась от исходной. Это позволяет получить более простые управляющие устройства.
Определим вид желаемой ЛАЧХ Lж(w) в области средних частот. Частота среза определяется по формуле
wc ≥ |
2.8 π |
|
(39) |
|
tП |
||||
|
|
|||
где tп – |
время переходного |
процесса из таблицы 1. Пусть tп = 1,0 с, тогда |
||
wC ≥ 2.81.03.14 ≈10 с. Проведём через точку wc прямую с наклоном -20 дб/дек (рисунок 7).
Если исходная система при К = 2Ккр удовлетворяет требованиям по точности (31), то желаемая ЛАЧХ будет иметь тот же коэффициент передачи К. Если не удовлетворяет требованиям по точности, то по выражению (31) выбираем коэффициент передачи К.
Рисунок 7. Исходные и желаемые логарифмические характеристики
Из точки L = 20 lg K по оси ординат проводив линию с наклоном -40дб/дек. Точка пересечения этой линии и линии, проведённой через wc, даст частоту сопряжения w1 = 1/T1. Для обеспечения запасов устойчивости необходимо, чтобы wc/w1>10. Таким образом, вид желаемой ЛАЧХ для частот w<wc найден.
В высокочастотной области желательно, чтобы желаемая ЛАЧХ возможно меньше отличалась от исходной. Из точки w = 1/T опускаем перпендикуляр до пересечения с прямой, проходящей через wc . Из точки пересечения проводим прямую с наклоном -60 дб/дек. Желательно, чтобы w/wc > 10.
По виду желаемой ЛАЧХ Lж (рисунок 7) определяем желаемую функцию системы
WЖ ( p) = |
ϕ( p) |
= |
K (1 +T1 ( p)) |
(40) |
|
p 2 [T 2 p 2 + 2ξTP +1] |
|||
U 3ϕ ( p) |
Вид желаемой фазо-частотной характеристики определим по передаточной функции (40)
ψ Ж (w) = −π − arctg |
|
2ξTw |
+ arctgT1 w |
(41) |
|
−T 2 w2 |
|||
1 |
|
|
||
Задаваясь значениями w от 0 до +∞ рассчитаем по формуле (41) желаемую ЛАЧХ. Данные сведём в таблицу 5.
|
|
|
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
w |
2ξTw |
1-T2w2 |
arctg |
2ξTw |
|
arctg T1w |
ψ |
|
|
|
|
1 −T 2 w2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
0 |
|
0 |
-π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
· |
· |
|
· |
|
· |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
· |
· |
|
· |
|
· |
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид желаемой ЛАЧХ представлен на рисунке 7. Проверить по ЛАЧХ (рисунок 7), имеет ли полученная система требуемые запасы устойчивости по амплитуде и фазе.
Вычитая ординаты исходной ЛАЧХ (Lис(w)) из ординат желаемой ЛАЧХ (Lж(w)) при одинаковых частотах, получим ЛАЧХ (Ly(w)) управляющего устройства (рисунок 7). По виду ЛАЧХ управляющего устройства определим его передаточную функцию
Wyϕ ( p) = (1 +Tϕ p) p
Tϕ = |
1 |
=12 с |
(42) |
|
w |
||||
|
|
|
||
|
1 |
|
|
Структурная схема системы (рисунок 4) с учётом (42) имеет вид
Рисунок 8. Структурная схема САУ ПЭ