Метод Якоби
Вернемся к рассмотрению СЛАУ в виде (7). После выяснения условия, которому должна удовлетворять матрица коэффициентов приведенной системы (8) для сходимости МПИ (9), следует осуществить приведение системы (7) к виду (8) так, чтобы это условие выполнялось. Рассмотрим один из способов такого приведения, достаточно эффективный в определенных случаях.
Представим матрицу A системы (7) в виде
A = L + D + R,
где D — диагональная, a L и R — соответственно левая и правая строго треугольные (т.е. с нулевой диагональю) матрицы. Тогда система (7) может быть записана в виде
Lx + Dx + Rx = b, (10)
и если на диагонали исходной матрицы нет нулей, то эквивалентной (7) задачей вида (8) будет
x = – D–1(L + R)x + D–1b, (11)
т.е. в равенствах (8) и (9) следует положить
B = – D–1(L + R), c = D–1b.
Основанный на таком приведении системы (7) к виду (8) метод простых итераций (9) называют методом Якоби. В векторно-матричных обозначениях он определяется формулой
x(k+1) = – D–1(L + R)x(k) + D–1b, k = 0, 1, 2, ... (12)
Чтобы
записать метод Якоби (12) решения системы
(7) в развернутом виде, достаточно
заметить, что обратной матрицей к матрице
служит диагональная матрица D–1
с элементами диагонали dii
= 1/aii.
Поэтому представление (11) системы (7),
записанной в виде (10), равнозначно
выражению «диагональных неизвестных»
через остальные:
(13)
Теперь для записи итерационного процесса (12) осталось в равенствах системы (13) только «навесить» индексы, соответствующие номерам приближений (т.е. k = 0, 1, 2, ...):
(14)
Установим простой достаточный признак сходимости метода Якоби к решению системы (7).
Теорема 3. Достаточный признак сходимости метода Якоби.
В
случае диагонального преобладания в
матрице A (
i
= 1, …, n) системы (7) метод
Якоби (12) сходится.
Теорема 4. Необходимый и достаточный признак сходимости метода Якоби.
Метод Якоби (12) сходится к решению системы (7) в том и только в том случае, когда все корни уравнения
по модулю меньше единицы.
Метод Зейделя
Под
методом Зейделя обычно понимается такое
видоизменение метода простых итераций
(9) решения СЛАУ, приведенных к виду (8),
при котором для подсчета i-й
компоненты (k + 1)-го
приближения к искомому вектору x
используются уже найденные на этом,
т. е. (k + 1)-м шаге, новые
значения первых i – 1
компонент. Это означает, что если система
(7) тем или иным способом сведена к системе
(8) с матрицей коэффициентов
и вектором свободных членов
,
то приближения к ее решению по методу
Зейделя определяются системой равенств
(15)
где k = 0, 1, 2, ..., а
— компоненты заданного (выбранного)
начального вектора x(0).
Остановимся подробнее на случае, когда приведение системы (7) к виду (8) основано на представлении (10), т.е. когда метод Зейделя есть модификация метода Якоби. Запись соответствующих расчетных формул здесь сводится к верхней индексации системы (13) по типу (15):
(16)
где k = 0, 1, 2, ...;
задается.
Для анализа сходимости метода Зейделя (16) обратимся к его векторно-матричной форме. Легко видеть, что если неявный вид метода Якоби, вытекающий из представления (10) системы (7), есть
Lx(k) + Dx(k+1) + Rx(k) = b (сравните с (12)),
то равнозначный (16) неявный вид метода Зейделя в векторно-матричных обозначениях суть
Lx(k+1) + Dx(k+1) + Rx(k) = b.
Следовательно, тот же вектор x(k+1) который фигурирует в левой части совокупности равенств (16), может быть получен по формуле
x(k+1) = – (L + D)–1Rx(k) + (L + D)–1b. (17)
Последнее выражение определяет не что иное, как МПИ (9) для системы вида (8), где
B = – (L + D)–1R, c = (L + D)–1b,
т.е. результат применения одного шага метода Зейделя (16), полученного на основе (L + D + R)-разложения матрицы A, можно расценивать как шаг МПИ для эквивалентной (7) задачи о неподвижной точке
x = – (L + D)–1Rx + (L + D)–1b (18)
(разумеется, если треугольная матрица L + D обратима). Эта связь между методом Зейделя и методом простых итераций позволяет легко переформулировать некоторые утверждения о сходимости МПИ применительно к методу Зейделя (16).
Теорема 5. Необходимый и достаточный признак сходимости метода Якоби.
Для сходимости метода Зейделя (16) необходимо и достаточно, чтобы все корни уравнения
(19)
были по модулю меньше единицы.
Прямым следствием Теорема 2 для метода Зейделя (16) является следующая теорема.
Теорема 6. Погрешность метода Зейделя.
Пусть ||(L + D)–1R|| t < 1. Тогда при любом начальном векторе x(0) метод Зейделя (16) сходится к решению x* системы (7) и справедливы оценки погрешности
(20)
Теорема 7. Быстрая сходимость метода Зейделя.
Если в матрице A системы (7) имеет место диагональное преобладание, то метод Зейделя (16) сходится, причем быстрее, чем метод Якоби (14).
Определение 1. Нормальная система.
Система Ax = b называется нормальной, если матрица A — симметричная положительно определенная.
Теорема 8. Достаточный признак сходимости метода Зейделя.
Если система (7) — нормальная, то метод Зейделя (16) сходится.
Теорема 9. Нормализация системы.
Пусть det A 0. Тогда система
ATAx = ATb — нормальная.