2. Исследуем устойчивость системы по критерию Найквиста и определим запасы устойчивости по модулю и по фазе.

Согласно критерию устойчивости Найквиста, об устойчивости замкнутой системы можно судить, исследовав устойчивость ее разомкнутой системы. Т.е. если АФХ разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатой (-1; j0), то систему можно считать устойчивой.

Для этого построим АФХ разомкнутой системы:

;

Запишем частотную передаточную функцию разомкнутой системы, заменив р→jω:

;

таблица №3

Диаграмма №3

Строим единичную окружность и находим точку пересечения единичной окружности с АФХ:

(Диаграмма №3 в увеличенном масштабе)

а



На графике видно, что АФХ разомкнутой системы не пересекает точку с координатой (-1;j0), значит система устойчива по критерию Найквиста.

Сделаем проверку устойчивости этой системы по критерию Гурвица, для этого составляем характеристический полином – знаменатель передаточной функции разомкнутой системы вида а₀ⁿ+ а₁^n-1+…+ а_т-1 + а_n = 0, и главный определитель Гурвица из коэффициентов характеристического полинома:

=0

;

Главный определитель Гурвица

, ;

,

;

;

Из вычислений следует, что система является устойчивой, так как при а0>0, главный определитель Гурвица и все его диагональные миноры положительные.

Определим запасы устойчивости по модулю и фазе

• Запас устойчивости по модулю определяется следующим образом: М=*100%, где в=1, а – точка пересечения АФХ раз. системы с действительной осью, т.е. из рис. на стр. 10 видно, что а=1,1, т.е. М=110%. Для данной системы наблюдается большой запас устойчивости по амплитуде (модулю), т.к. значение 110% превышает норму 15-30%.

• Запас устойчивости по фазе определяется следующим образом:

Точка пересечения единичной окружности и АФХ раз. системы соединяется с началом координат с помощью прямой. Угол отклонения этой прямой от действительной оси дает нам величину запаса устойчивости по фазе.

Из рис. стр.10 видно, что этот угол =-3, что говорит об очень малом запасе устойчивости по фазе в этой системе.

3. Построение переходного процесса системы методом трапеций и исследование его

Пусть замкнутая система имеет вещественную частотную характеристику следующего вида:

U(w)=RE[Wз(w)], U=f(w),

Таблица №5

w	U(w)	3,5	-0,41089	7,5	-0,06161	11,5	-0,0054
0	1	4	-0,35543	8	-0,04902	12	-0,00244
0,5	1,021047	4,5	-0,27064	8,5	-0,03882	12,5	9,56E-05
1	1,115511	5	-0,20568	9	-0,03048	13	0,002261
1,5	1,353744	5,5	-0,15845	9,5	-0,02357	13,5	0,004115
2	1,87098	6	-0,12369	10	-0,01781	14	0,0057
2,5	2,260779	6,5	-0,09753	10,5	-0,01297	14,5	0,007054
3	0,139379	7	-0,0774	11	-0,00887	15	0,008205

Диаграмма №4

Вещественно-частотную характеристику легко разделяют на небольшое число трапециидальных составляющих (стр.13), расположенных так, что их основания совпадают с осью частот. В данном случае характеристика представлена 5 составляющими: 0лвг, 0кжг, 0едм, 0бон, 0орн (0-начало координат).

Для трапеции 1 - 0лвг:

Uф0₍₁₎= Uф₁- Uф₂=2,3-(-0,4)=2,7; w_d(1)=w₂=2.5;

w₀₍₁₎=w₃=3.5; ₁=w_d1/w₀₍₁₎=2.5/3.50.7;

Для трапеции 2 – 0кжг:

Uф0₍₂₎=Uф₁₍₂₎-Uф₂₍₂₎=0,15-(-0,4)=0,55; w_d(2)=3;

w₀₍₂₎=w₃=3.5; ₂=w_d(1)/w₀₍₁₎=3/3.50.85;

Для трапеции 3 – 0едм:

Uф0₍₃₎=Uф₂=-0,4; w_d(3)=w₄=3.75;

w₀₍₃₎=w_e=12; ₃=w_d(3)/w₀₍₃₎=3.75/120.3;

Для трапеции 4 – 0бон:

Uф0₍₄₎=Uф₃-Uф₁=1,35-2,3=-0,95; w_d(4)=w₀=1,5;

w₀₍₄₎=w₁=2,25; ₄=w_d(4)/w₀₍₄₎=1,5/2,250.65;

Для трапеции 5 – 0орн:

Uф0₍₅₎=Uф₀-Uф₃=1-1,35=-0,35; w_d(5)=w₀=0,5;

w₀₍₅₎=w₀=1.5; ₅=w_d(5)/w₀₍₅₎=0.5/1.50.35;

Составим таблицу переходного процесса и по ее данным построим график переходного процесса:

Таблица №6

	Uф0					w0
	1	2	3	4	5	1		2		3		4		5
	2,7	0,55	-0,4	-0,95	-0,35	3,5		3,5		12		2,25		1,5
	H =0,7	H =0,85	H =0,3	H =0,65	H =0,3	t1	x1	t2	x2	t3	x3	t4	x4	t5	x5
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0,519	0,561	0,402	0,505	0,417	0,28	1,401	0,29	0,308	0,083	-0,16	0,444	-0,48	0,66	-0,145
2	0,919	0,974	0,732	0,899	0,761	0,57	2,481	0,57	0,535	0,166	-0,29	0,888	-0,854	1,33	-0,266
3	1,131	1,162	0,958	1,116	0,986	0,85	3,053	0,86	0,639	0,25	-0,38	1,333	-1,06	2	-0,345
4	1,163	1,15	1,066	1,162	1,09	1,14	3,101	1,14	0,632	0,333	-0,43	1,777	-1,104	2,66	-0,381
5	1,084	1,036	1,087	1,097	1,102	1,42	2,926	1,43	0,56	0,41	-0,43	2,22	-1,04	3,33	-0,38
6	0,984	0,934	1,065	1,001	1,07	1,71	2,656	1,71	0,513	0,5	-0,43	2,666	-0,951	4	-0,374
7	0,927	0,909	1,037	0,941	1,033	2	2,502	2	0,499	0,583	-0,41	3,111	-0,894	4,66	-0,361
8	0,93	0,955	1,021	0,934	1,011	2,28	2,516	2,29	0,525	0,666	-0,41	3,555	-0,887	5,33	-0,353
9	0,97	1,023	1,017	0,967	1,006	2,57	2,635	2,57	0,562	0,75	-0,41	4	-0,919	6	-0,352
10	1,02	1,059	1,018	1,006	1,005	2,85	2,754	2,86	0,582	0,83	-0,41	4,44	-0,95	6,6	-0,351
11	1,03	1,044	1,013	1,027	1,002	3,14	2,805	3,14	0,574	0,916	-0,41	4,888	-0,976	7,333	-0,350
12	1,02	1	1,004	1,026	0,994	3,42	2,778	3,43	0,55	1	-0,4	5,333	-0,975	8	-0,347
13	1,00	0,965	0,993	1,012	0,986	3,71	2,713	3,71	0,53	1,083	-0,4	5,777	-0,961	8,666	-0,345
14	0,99	0,961	0,987	1,005	0,983	4	2,694	4	0,528	1,166	-0,39	6,222	-0,955	9,333	-0,344
15	0,98	0,987	0,987	0,994	0,986	4,28	2,654	4,29	0,542	1,25	-0,39	6,66	-0,94	10	-0,345
16	0,99	1,018	0,99	0,994	0,992	4,57	2,673	4,57	0,559	1,333	-0,4	7,111	-0,944	10,66	-0,347
17	0,99	1,03	0,993	0,996	0,998	4,85	2,697	4,86	0,566	1,416	-0,4	7,555	-0,946	11,33	-0,349
18	1,00	1,018	0,994	0,997	1	5,14	2,710	5,14	0,559	1,5	-0,4	8	-0,947	12	-0,35
19	1,00	0,995	0,994	0,997	1,001	5,42	2,710	5,43	0,547	1,583	-0,4	8,444	-0,947	12,66	-0,350
20	1,00	0,98	0,994	0,999	1,001	5,71	2,708	5,71	0,539	1,66	-0,4	8,88	-0,94	13,3	-0,35
21	1,00	0,982	0,996	1,001	1,002	6	2,705	6	0,540	1,75	-0,4	9,333	-0,951	14	-0,350
22	1,00	0,997	1	1,004	1,005	6,28	2,705	6,29	0,548	1,833	-0,4	9,777	-0,954	14,66	-0,351
23	1,00	1,011	1,003	1,007	1,006	6,57	2,705	6,57	0,556	1,916	-0,4	10,22	-0,957	15,33	-0,352
24	0,99	1,015	1,005	1,004	1,006	6,87	2,697	6,86	0,558	2	-0,4	10,66	-0,954	16	-0,352
25	0,99	1,008	1,004	0,997	1,002	7,14	2,689	7,14	0,55	2,08	-0,4	11,1	-0,94	16,6	-0,35

Диаграмма №5

На диаграмме №5 путем суммирования всех функций получаем ряд6 – x_общ(t) – фазовый портрет переходного процесса.

Любая трапециидальная действительная характеристика характеризуется следующими параметрами:

 - коэффициент наклона;

w₀ – полоса пропускания частот;

w_d – полоса равномерного пропускания; ;

Так как сумма переходных процессов от отдельно составляющих образует переходный процесс системы в целом, то сумма составляющих, имеющих форму трапеций образуют действительную частотную характеристику.

Диаграмма №6