§8 Интеграл лебега

Пусть f(x) – ограниченная измеримая функция, определённая на измеримом множестве Е и принимающая значения между A и B : . Разобьём отрезок [A;B] оси Oy точками , и построим следующие суммы: , которые называются, соответственно, нижней и верхней суммами Лебега.

Если существует общий предел верхних и нижних сумм Лебега при стремлении к нулю λ – наибольшей длины отрезков (y_i-1 ;y_i ) , то этот общий предел называется интегралом Лебега от функции f(x) по множеству Е:

Теорема. Если две измеримые ограниченные на Е функции φ(x) и ψ(x) различаются друг от друга только на множестве меры нуль, то их интегралы Лебега равны между собой:

.

Введённые обозначения: mE – мера множества Е; К –канторово множество, СК- дополнение канторова множества; Q^’ –множество рациональных точек отрезка [0;1], CQ’- дополнение множества Q’/

ЗАДАНИЕ 20

На интервале [a;b] построить график функции . Найти .

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

ЗАДАНИЕ 21

Вычислить , если

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

13. 

14. 

15. 

16. 

17. 

18. 

19. 

20. 

21. 

22. 

23. 

24. 

Задачи повышенной сложности

1. Докажите, что , и дайте этому неравенству геометрическую интерпретацию.

2. Нарисуйте на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих условию.

3. Пусть корни уравнения . Докажите, что .

4. Какие значения может принимать arg z, если ?

5. Построить линию, заданную уравнением

6. Найти наибольшее значение |z|, если

7. При каких значениях система имеет единственное решение? Найдите его.

8. Центр квадрата находится в точке z₀=1+i, а одна из вершин в точке z₁=1-i. Найти координаты остальных вершин квадрата т его площадь.

9. Точка z движется по линии . По какой линии движется точка .

10. Какие значения может принимать , если ?

11. Построить линию, заданную уравнением .

12. Докажите, что если =1 и , то точки z_k являются вершинами равностороннего треугольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом 1.

13. Найти наибольшее значение |z|, если .

14. На окружности найти точки z, для которых модуль минимален.

15. Изобразить множество точек z на комплексной плоскости, удовлетворяющее неравенству .

16. Найти наименьшее значение |z|, если

17. Точка z движется по линии . По какой линии движется точка .

18. Докажите, что если =1 и , то точки z_k являются вершинами вписанного в единичный круг прямоугольника.

19. Найти наименьшее значение |z|, если .

20. Решить систему

21. На окружности найти точки z, для которых модуль максимален.

22. Точка z движется по линии . По какой линии движется точка .

23. Доказать, что если , то

24. Какие значения может принимать , если ?

ТАБЛИЦА ВАРИАНТОВ

№в\№з	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
1	15	22	10	24	5	15	9	21	17	18	13	19	15	2	18	19	20	18	4	3
2	7	12	17	21	16	17	18	13	20	17	5	8	8	2	14	7	20	17	5	13
3	14	15	19	11	5	9	12	3	5	11	16	14	7	5	3	16	13	12	12	12
4	9	10	20	6	6	1	14	14	8	13	22	4	19	7	20	24	12	2	5	12
5	7	24	8	15	3	13	9	13	7	15	13	5	8	7	24	10	15	17	13	4
6	23	13	19	15	5	3	16	8	6	12	16	15	10	15	8	13	15	20	4	19
7	7	9	10	19	23	18	22	8	4	17	23	20	16	8	17	11	3	2	10	23
8	21	23	24	6	12	10	8	24	17	6	20	17	16	15	9	4	17	13	8	13
9	22	17	13	21	6	18	12	5	7	11	15	2	18	4	24	6	15	10	23	15
10	24	15	13	8	5	20	23	13	4	12	24	15	7	4	24	13	22	23	13	21
11	15	8	11	12	17	15	22	20	5	20	21	8	5	16	9	5	22	23	10	17
12	10	9	14	12	8	6	21	12	18	22	4	24	3	4	9	14	22	9	20	3
13	16	17	13	21	11	18	23	19	10	8	8	12	2	5	15	14	14	15	11	8
14	3	5	15	23	1	22	22	10	14	21	23	22	12	12	17	12	22	8	5	6
15	8	4	19	23	10	2	21	9	10	7	11	18	16	21	23	5	22	23	17	19
16	11	19	7	4	3	17	18	20	22	16	12	18	20	15	10	21	5	19	2	15
17	17	13	20	14	22	20	15	22	5	5	2	15	13	14	22	2	1	23	22	18
18	7	15	14	8	13	4	20	20	18	8	4	7	4	23	21	14	22	13	5	7
19	11	20	16	14	14	8	16	23	7	16	16	12	20	7	4	9	23	7	24	5
20	2	14	2	12	6	12	3	17	3	17	2	12	3	8	20	18	13	11	23	14
21	2	16	16	7	5	17	20	9	13	8	1	3	20	10	4	16	24	22	9	20
22	17	9	3	6	8	10	10	6	12	14	8	23	10	15	7	13	16	10	8	4
23	23	4	22	14	4	22	18	3	17	19	2	21	22	7	13	10	8	19	20	24
24	14	5	4	2	15	16	12	7	8	2	6	19	18	3	21	19	1	8	18	15
25	14	24	16	19	12	7	7	8	15	19	1	19	5	8	7	1	17	15	12	11
26	20	7	1	4	11	22	14	1	12	7	3	4	23	10	7	20	2	10	21	21
27	11	22	18	18	4	6	12	4	16	5	5	20	12	11	7	18	13	3	13	3
28	10	4	21	2	14	14	18	22	20	3	20	5	16	4	6	22	6	4	13	7
29	9	4	18	19	10	20	5	8	2	10	12	3	20	3	19	10	22	16	4	15
30	13	22	5	22	21	23	3	2	12	13	12	16	3	1	9	14	9	19	13	5
31	5	22	3	1	12	16	5	21	14	12	23	8	8	2	9	12	21	16	3	14
32	6	8	14	17	16	20	7	1	5	10	13	9	9	9	7	6	5	12	1	18
33	17	10	17	13	15	8	8	3	4	18	7	17	16	24	11	11	16	2	8	14
34	8	8	22	10	17	19	6	4	7	16	16	11	14	8	5	15	11	11	3	3
36	3	21	13	22	3	5	15	18	14	3	11	12	9	6	10	12	23	13	10	2
36	18	23	19	18	13	12	10	23	2	7	5	21	4	21	15	10	12	21	12	17
37	19	19	16	2	5	19	1	14	8	21	21	20	20	12	12	3	18	21	19	3
38	18	24	17	20	5	2	6	23	8	7	5	17	22	22	15	14	5	2	19	3
39	20	20	15	12	10	23	2	19	6	4	21	22	1	8	7	4	13	7	9	24
40	15	9	16	15	15	5	8	5	7	3	6	18	6	16	14	20	14	22	18	21
41	22	22	11	23	5	9	3	23	3	15	3	14	19	20	13	14	6	1	17	8
42	10	17	11	17	18	2	20	8	8	21	16	5	7	22	5	12	22	15	22	23
43	3	7	19	2	11	7	7	4	15	11	19	18	17	2	11	3	9	11	9	23
44	12	6	8	17	8	9	19	21	14	3	21	8	1	7	4	22	16	6	21	21
45	16	20	21	11	4	24	10	21	18	18	6	7	6	14	18	18	7	12	12	16
46	12	16	14	15	20	23	5	14	14	11	20	3	23	22	9	14	17	5	22	6
47	4	23	15	19	3	12	18	6	15	16	22	1	13	7	10	19	12	5	5	21
48	18	19	23	8	14	20	10	16	2	13	18	18	15	20	7	8	14	15	3	11
49	6	13	21	7	10	3	16	9	19	10	21	13	18	18	24	20	9	16	5	13
50	6	11	7	3	14	5	9	24	14	21	8	4	22	23	17	5	16	17	12	4