§2. Функция комплексной переменной
Если каждому
комплексному числу
на
комплексной плоскости Z
ставится в соответствие по определённому
закону одно или несколько чисел
из
множества Е
на комплексной плоскости W,
то w-
функция комплексной переменной z,
D
– область существования, E
– область
изменения w
. Геометрически
- отображение области D
комплексной плоскости
Z
на область
E
комплексной плоскости
W.
Основные элементарные функции.
1.
2.
3.
Следствие:
4.
5.
ЗАДАНИЕ 4
Вычислить.
ЗАДАНИЕ 5
Найти образ E
области D
плоскости z
при отображении функцией
.
§ 3. Дифференцирование функции комплексной переменной
Если
w=f(z)=u(x;y)+iv(x;y)
– однозначная
функция комплексной переменной z=x+iy,
то в каждой точке дифференцируемости
f(z)
выполняются условия Коши-Римана
.
Теорема. Если в некоторой точке (x;y) функции u(x;y), v(x;y) имеют непрерывные частные производные, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, то функция f(z)=u(x;y)+iv(x;y) является дифференцируемой.
Функцию w=f(z)называют аналитической в точке z, если она дифференцируема как в самой точке, так и в некоторой её окрестности.
ЗАДАНИЕ 6
Пользуясь условиями Коши-Римана, выяснить, является ли данная функция аналитической, хотя бы в одной точке.
ЗАДАНИЕ 7
Найти аналитическую
функцию
в области
,
если
§4. Интеграл в комплексной плоскости
1)
2) Если f(z)
аналитическая в области D
и
3) Если f(z)
аналитическая во всей комплексной
плоскости,
то
4) Если f(z) аналитическая в области D и на Г, справедлива
интегральная
формула Коши
.
ЗАДАНИЕ 8
Вычислить интеграл.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
ЗАДАНИЕ 9
Вычислить интеграл, если линия интегрирования L - отрезок АВ.
1)
, если
2)
, если
3)
,
если
4)
, если
5)
, если
6)
,
если
7)
, если
8)
, если
, если
10)
, если
11)
,
если
12)
, если
, если
14)
, если
15)
,
если
16)
,
если
17)
, если
18)
, если
19)
,
если
20)
, если
, если
22)
, если
23)
, если
24)
,
если
ЗАДАНИЕ 10
Вычислить при помощи формулы Коши интеграл.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
